Contoh Soal Fungsi Invers dan Pembahasannya: 12 Nomor dari Linear sampai Invers Komposisi
Contoh soal fungsi invers mudah tertukar dengan fungsi komposisi padahal tujuannya berlawanan: komposisi menyambung dua fungsi jadi satu, sedangkan invers membalik satu fungsi supaya nilainya kembali ke titik awal. Panduan ini merangkum syarat bijektif, tiga langkah baku mencari rumus invers, plus 12 soal dari bentuk linear sampai invers komposisi, semuanya dengan pengecekan balik.
Contoh soal fungsi invers yang keluar di ujian sekolah dan seleksi masuk PTN sebenarnya berputar pada tujuh bentuk saja: linear, pecahan linear, kuadrat dengan domain dibatasi, akar, eksponen, logaritma, dan invers dari fungsi komposisi. Artikel ini membedah 12 nomor dari ketujuh bentuk itu dengan pembahasan langkah demi langkah, ditambah pengecekan balik f(f⁻¹(x)) = x supaya kamu bisa membuktikan sendiri jawabannya benar tanpa bergantung pada kunci jawaban.
Materi ini bukan materi pinggiran. Pusat Asesmen Pendidikan Kemendikdasmen mencantumkan butir "Invers fungsi dan representasinya" pada kerangka asesmen TKA Matematika jenjang SMA, sejajar dengan butir "Fungsi komposisi dan representasinya". Keduanya ditulis sebagai dua butir terpisah, jadi diuji sebagai dua kompetensi yang berbeda.
Fungsi Invers Adalah Fungsi yang Membalik Arah Kerja Fungsi Asal
Fungsi invers adalah fungsi yang mengembalikan setiap keluaran fungsi asal ke masukan yang menghasilkannya. Kalau f(x) = 5x + 1 memetakan 2 menjadi 11, maka f⁻¹ memetakan 11 kembali menjadi 2. Notasinya ditulis f⁻¹(x) dan dibaca "f invers x". Karena arah kerjanya dibalik, daerah asal (domain) fungsi asal berubah peran menjadi daerah hasil (range) inversnya, dan sebaliknya.
Hubungan itu bisa dirangkum dalam dua persamaan yang nanti jadi alat verifikasi paling ampuh sepanjang artikel ini:
- f⁻¹(f(x)) = x untuk setiap x di domain f
- f(f⁻¹(x)) = x untuk setiap x di domain f⁻¹
Jebakan pertama justru muncul dari notasinya sendiri. Angka -1 pada f⁻¹ bukan pangkat, jadi f⁻¹(x) tidak sama dengan 1/f(x). Ambil contoh f(x) = 2x. Inversnya adalah f⁻¹(x) = x/2, sedangkan 1/f(x) = 1/(2x). Dua rumus yang jauh berbeda. Istilah invers juga dipakai pada topik lain seperti invers matriks, tetapi objek dan prosedurnya berbeda dari invers fungsi yang dibahas di halaman ini.
Ada cara visual yang sangat membantu. Kalau titik (a, b) berada pada grafik f, maka titik (b, a) pasti berada pada grafik f⁻¹. Akibatnya grafik f dan grafik inversnya selalu simetris terhadap garis y = x. Sifat ini sering dipakai soal untuk menanyakan nilai tertentu tanpa meminta kamu mencari rumus inversnya sama sekali. Misalnya, jika diketahui f(4) = 9, tanpa hitungan apa pun kamu sudah bisa menjawab f⁻¹(9) = 4.
Beda Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi, Dua Materi yang Sering Tertukar
Karena sama-sama memakai lambang f dan g dan sama-sama tinggal di bab relasi dan fungsi, dua materi ini kerap dikira satu topik. Bedanya sebenarnya sederhana: fungsi komposisi menyambung dua fungsi menjadi satu fungsi baru, sedangkan fungsi invers membalik satu fungsi supaya nilainya kembali ke titik awal. Komposisi menambah lapisan, invers melepas lapisan.
| Aspek | Fungsi Komposisi | Fungsi Invers |
|---|---|---|
| Notasi | (f o g)(x) atau f(g(x)) | f⁻¹(x) |
| Yang dikerjakan | Menyambung dua fungsi menjadi satu | Membalik arah kerja satu fungsi |
| Jumlah fungsi minimal | Dua | Satu |
| Syarat agar ada | Daerah hasil g harus termuat di daerah asal f | Fungsi harus bijektif, yaitu satu-satu sekaligus onto |
| Hasil penggabungan | Fungsi baru, misalnya 2x + 6 | Kembali ke masukan semula, f(f⁻¹(x)) = x |
| Contoh singkat | f(x) = 2x dan g(x) = x + 3 memberi (f o g)(x) = 2x + 6 | f(x) = 2x memberi f⁻¹(x) = x/2 |
| Kesalahan khas | Membalik urutan pengerjaan | Mengira f⁻¹(x) sama dengan 1/f(x) |
| Butir pada kerangka TKA Matematika | Fungsi komposisi dan representasinya | Invers fungsi dan representasinya |
Ada satu titik temu yang perlu kamu ingat: kalau sebuah fungsi dikomposisikan dengan inversnya sendiri, hasilnya adalah fungsi identitas. Jadi (f o f⁻¹)(x) = (f⁻¹ o f)(x) = x. Sifat inilah yang dipakai sebagai alat verifikasi di seluruh pembahasan artikel ini, sekaligus alasan kenapa dua materi tersebut memang perlu dipelajari berurutan meskipun tetap harus dibedakan.
Kalau kamu sedang mengulang materi komposisi, kerjakan dulu nomor-nomor di panduan contoh soal fungsi komposisi, baru lanjut ke halaman ini. Urutan itu membantu karena tiga nomor terakhir di artikel ini menggabungkan kedua materi sekaligus.
Kerangka asesmen TKA Matematika jenjang SMA yang diterbitkan Pusat Asesmen Pendidikan menuliskan tiga butir berurutan pada bagian fungsi: domain, kodomain, dan daerah hasil fungsi linear, kuadrat, serta rasional; invers fungsi dan representasinya; lalu fungsi komposisi dan representasinya. Ketiganya butir terpisah, jadi menguasai komposisi saja belum cukup.
Syarat Sebuah Fungsi Punya Invers: Harus Bijektif
Tidak semua fungsi punya invers. Syaratnya fungsi itu harus bijektif, yaitu injektif (satu-satu) sekaligus surjektif (onto). Injektif berarti dua masukan yang berbeda selalu memberi keluaran yang berbeda. Surjektif berarti setiap anggota kodomain benar-benar terpakai sebagai keluaran.
Uji cepatnya memakai garis horizontal. Tarik garis mendatar di mana saja pada grafik f. Kalau ada satu garis saja yang memotong grafik di dua titik atau lebih, fungsi itu tidak satu-satu dan inversnya tidak akan berupa fungsi. LibreTexts merumuskannya dalam satu kalimat: agar sebuah fungsi punya invers, fungsi itu harus one-to-one.
Contoh gagalnya paling gampang dilihat pada f(x) = x² dengan domain seluruh bilangan real. Nilai 9 dihasilkan oleh dua masukan sekaligus, yaitu 3 dan -3. Begitu arahnya dibalik, masukan 9 akan menghasilkan dua keluaran, dan itu melanggar definisi fungsi. Karena itu f(x) = x² pada seluruh bilangan real tidak punya fungsi invers.
Jalan keluarnya adalah membatasi domain. Kalau f(x) = x² dibatasi ke x ≥ 0, grafiknya hanya menyisakan cabang kanan, lolos uji garis horizontal, dan inversnya menjadi f⁻¹(x) = √x. Prinsip yang sama dipakai untuk semua fungsi kuadrat: potong domainnya di sumbu simetri x = -b/(2a), lalu ambil satu sisi saja.
Dalam soal tingkat SMA, bagian surjektif biasanya sudah diamankan lewat cara soal ditulis. Kalau kodomain tidak disebut secara khusus, kebiasaan yang dipakai adalah menganggap kodomainnya sama dengan daerah hasil fungsi itu sendiri, sehingga syarat yang benar-benar perlu kamu periksa tinggal satu, yaitu injektif. Karena itu uji garis horizontal saja sudah memadai untuk sebagian besar soal.
Ringkasnya: fungsi linear dengan gradien bukan nol selalu punya invers pada seluruh bilangan real; fungsi eksponen dan logaritma juga selalu punya invers pada domain aslinya; sedangkan fungsi kuadrat dan fungsi nilai mutlak baru punya invers setelah domainnya dipotong.
Tiga Langkah Baku Mencari Rumus Fungsi Invers
Prosedurnya selalu sama, apa pun bentuk fungsinya.
Langkah 1. Ganti f(x) dengan y sehingga persamaannya menjadi y = f(x).
Langkah 2. Selesaikan persamaan itu untuk x. Tujuannya membuat x berdiri sendiri di satu ruas, sementara seluruh sisanya dinyatakan dalam y.
Langkah 3. Tukar nama variabelnya. Setiap y ditulis menjadi x, dan ruas yang tadinya x ditulis menjadi f⁻¹(x). Terakhir tentukan domain f⁻¹, yang nilainya persis sama dengan daerah hasil f.
Sebagian buku mengajarkan urutan yang sedikit berbeda, yaitu menukar x dan y lebih dulu baru menyelesaikan persamaannya. Hasil akhirnya identik, jadi pakai saja yang paling nyaman buat kamu asalkan konsisten dalam satu soal.
Satu catatan teknis yang sering menolong: langkah 2 tidak selalu berupa operasi tunggal. Pada bentuk pecahan kamu perlu mengalikan silang lalu memfaktorkan x; pada bentuk kuadrat kamu perlu melengkapkan kuadrat sempurna lebih dulu; pada bentuk eksponen kamu perlu mengisolasi suku eksponennya sebelum mengubahnya ke logaritma. Yang berubah hanya teknik aljabarnya, sedangkan kerangka tiga langkahnya tetap sama.
Ada langkah keempat yang paling sering dilewatkan padahal paling menyelamatkan: substitusi balik. Masukkan f⁻¹(x) ke dalam f. Kalau hasilnya bukan x persis, berarti ada langkah aljabar yang salah. Pengecekan ini cuma butuh belasan detik dan langsung menutup peluang salah tanda.
Urutan kerja yang aman: tulis y = f(x), isolasi x, tukar variabel, tentukan domain, lalu substitusi balik untuk memastikan f(f⁻¹(x)) = x. Empat langkah pertama menghasilkan jawaban, dan langkah kelima yang membuat jawaban itu bisa dipertanggungjawabkan.
| Bentuk f(x) | Rumus f⁻¹(x) | Catatan domain f⁻¹ |
|---|---|---|
| ax + b, dengan a ≠ 0 | (x - b)/a | Seluruh bilangan real |
| (ax + b)/(cx + d), dengan c ≠ 0 dan ad - bc ≠ 0 | (-dx + b)/(cx - a) | x ≠ a/c |
| a(x - p)² + q pada domain x ≥ p, dengan a > 0 | p + √((x - q)/a) | x ≥ q |
| a(x - p)² + q pada domain x ≤ p, dengan a > 0 | p - √((x - q)/a) | x ≥ q |
| √(ax + b), dengan a ≠ 0 | (x² - b)/a | x ≥ 0 |
| a pangkat x, dengan a > 0 dan a ≠ 1 | Logaritma basis a dari x | x > 0 |
| Logaritma basis a dari x | a pangkat x | Seluruh bilangan real |
Contoh Soal Fungsi Invers Bentuk Linear
Bentuk linear adalah pintu masuknya. Semua fungsi linear dengan gradien bukan nol otomatis bijektif, jadi tidak perlu ada pembatasan domain sama sekali.
Soal 1. Diketahui f(x) = 3x - 7. Tentukan f⁻¹(x).
Pembahasan. Tulis y = 3x - 7. Pindahkan -7 ke ruas kiri sehingga y + 7 = 3x, lalu bagi kedua ruas dengan 3 dan diperoleh x = (y + 7)/3. Tukar variabelnya, hasilnya f⁻¹(x) = (x + 7)/3.
Verifikasi. f(f⁻¹(x)) = 3 × ((x + 7)/3) - 7 = (x + 7) - 7 = x. Dicek dari arah sebaliknya juga cocok: f⁻¹(f(x)) = ((3x - 7) + 7)/3 = 3x/3 = x. Jawaban terbukti benar, dan domain f⁻¹ adalah seluruh bilangan real.
Soal 2. Diketahui f(x) = 4 - 5x. Tentukan f⁻¹(x) lalu hitung f⁻¹(-6).
Pembahasan. Dari y = 4 - 5x, pindahkan suku yang memuat x sehingga 5x = 4 - y, lalu x = (4 - y)/5. Tukar variabel dan diperoleh f⁻¹(x) = (4 - x)/5. Substitusikan -6 sehingga f⁻¹(-6) = (4 - (-6))/5 = 10/5 = 2.
Verifikasi. f(f⁻¹(x)) = 4 - 5 × ((4 - x)/5) = 4 - (4 - x) = x. Nilai tunggalnya bisa dicek langsung juga: f(2) = 4 - 5 × 2 = -6, persis angka yang tadi dimasukkan ke f⁻¹.
Kalau soal cuma meminta satu nilai seperti f⁻¹(-6), ada jalan pintas yang lebih cepat: selesaikan saja persamaan f(x) = -6. Dari 4 - 5x = -6 diperoleh 5x = 10 dan x = 2, tanpa perlu mencari rumus inversnya lebih dulu. Jalan pintas ini sering menghemat waktu di soal pilihan ganda.
Contoh Soal Fungsi Invers Bentuk Pecahan Linear
Bentuk pecahan linear (ax + b)/(cx + d) adalah tipe yang paling banyak memakan korban, bukan karena rumit melainkan karena rawan salah tanda saat mengelompokkan suku yang memuat x.
Soal 3. Diketahui f(x) = (2x + 1)/(x - 3) dengan x ≠ 3. Tentukan f⁻¹(x) beserta domainnya.
Pembahasan. Tulis y = (2x + 1)/(x - 3), lalu kalikan silang menjadi y(x - 3) = 2x + 1, sehingga xy - 3y = 2x + 1. Kumpulkan suku ber-x di satu ruas: xy - 2x = 3y + 1. Faktorkan x sehingga x(y - 2) = 3y + 1, lalu x = (3y + 1)/(y - 2). Jadi f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x - 2) dengan syarat x ≠ 2.
Verifikasi. Substitusikan f⁻¹(x) ke dalam f. Pembilangnya menjadi 2 × (3x + 1)/(x - 2) + 1 = (6x + 2 + x - 2)/(x - 2) = 7x/(x - 2). Penyebutnya menjadi (3x + 1)/(x - 2) - 3 = (3x + 1 - 3x + 6)/(x - 2) = 7/(x - 2). Hasil baginya adalah 7x dibagi 7, yaitu x. Cocok.
Domainnya juga masuk akal kalau ditelusuri. Fungsi f punya asimtot tegak di x = 3 dan asimtot datar di y = 2, jadi daerah hasil f adalah semua bilangan real kecuali 2. Karena daerah hasil f menjadi domain f⁻¹, wajar kalau f⁻¹ tidak terdefinisi di x = 2.
Soal 4. Diketahui f(x) = (x - 4)/(2x + 3) dengan x ≠ -3/2. Tentukan f⁻¹(x) dan f⁻¹(0).
Pembahasan. Dari y = (x - 4)/(2x + 3) diperoleh y(2x + 3) = x - 4, yaitu 2xy + 3y = x - 4. Kumpulkan suku ber-x: 2xy - x = -4 - 3y, lalu x(2y - 1) = -3y - 4 sehingga x = (-3y - 4)/(2y - 1). Jadi f⁻¹(x) = (-3x - 4)/(2x - 1) dengan x ≠ 1/2. Untuk nilai tunggalnya, f⁻¹(0) = (0 - 4)/(0 - 1) = 4.
Verifikasi. Ambil u = (-3x - 4)/(2x - 1). Pembilang f(u) adalah u - 4 = (-3x - 4 - 8x + 4)/(2x - 1) = -11x/(2x - 1). Penyebutnya 2u + 3 = (-6x - 8 + 6x - 3)/(2x - 1) = -11/(2x - 1). Hasil baginya -11x dibagi -11, yaitu x. Nilai tunggalnya juga cocok: f(4) = (4 - 4)/(8 + 3) = 0.
Ada rumus cepat untuk bentuk ini. Jika f(x) = (ax + b)/(cx + d), maka f⁻¹(x) = (-dx + b)/(cx - a). Cukup tukar posisi a dan d sambil membalik tanda keduanya, sedangkan b dan c tetap di tempatnya. Pada Soal 4 kita punya a = 1, b = -4, c = 2, dan d = 3, sehingga f⁻¹(x) = (-3x - 4)/(2x - 1), sama persis dengan hasil pengerjaan manual di atas.
Contoh Soal Fungsi Invers Kuadrat dengan Pembatasan Domain
Fungsi kuadrat baru punya invers setelah domainnya dipotong di sumbu simetri. Soal ujian hampir selalu sudah menuliskan pembatasan itu, dan pembatasan tersebutlah yang menentukan kamu memilih akar positif atau akar negatif.
Soal 5. Diketahui f(x) = x² - 4x + 7 dengan domain x ≥ 2. Tentukan f⁻¹(x).
Pembahasan. Ubah ke bentuk kuadrat sempurna: x² - 4x + 7 = (x² - 4x + 4) + 3 = (x - 2)² + 3. Titik puncaknya (2, 3) dan sumbu simetrinya x = 2, jadi pembatasan x ≥ 2 tepat mengambil cabang kanan. Dari y = (x - 2)² + 3 diperoleh (x - 2)² = y - 3, sehingga x - 2 = ±√(y - 3). Karena x ≥ 2, nilai x - 2 tidak mungkin negatif, jadi yang dipakai tanda positif dan x = 2 + √(y - 3). Hasilnya f⁻¹(x) = 2 + √(x - 3) dengan domain x ≥ 3.
Verifikasi. f(f⁻¹(x)) = (2 + √(x - 3) - 2)² + 3 = (√(x - 3))² + 3 = (x - 3) + 3 = x, berlaku untuk semua x ≥ 3. Uji satu nilai juga aman: f⁻¹(7) = 2 + √4 = 4, dan f(4) = 16 - 16 + 7 = 7.
Soal 6. Diketahui f(x) = x² + 6x + 5 dengan domain x ≤ -3. Tentukan f⁻¹(x).
Pembahasan. Bentuk kuadrat sempurnanya adalah (x + 3)² - 4, dengan titik puncak (-3, -4). Kali ini domain yang diminta adalah cabang kiri. Dari y = (x + 3)² - 4 diperoleh (x + 3)² = y + 4 dan x + 3 = ±√(y + 4). Karena x ≤ -3, nilai x + 3 tidak mungkin positif, jadi yang dipakai tanda negatif dan x = -3 - √(y + 4). Hasilnya f⁻¹(x) = -3 - √(x + 4) dengan domain x ≥ -4.
Verifikasi. f(f⁻¹(x)) = (-3 - √(x + 4) + 3)² - 4 = (√(x + 4))² - 4 = (x + 4) - 4 = x. Uji nilai: f⁻¹(0) = -3 - √4 = -5, dan f(-5) = 25 - 30 + 5 = 0. Perhatikan bahwa jawaban f⁻¹(0) = -1, yang muncul kalau tandanya salah pilih, memang memenuhi f(-1) = 1 - 6 + 5 = 0. Tetapi -1 berada di luar domain x ≤ -3, sehingga bukan jawaban yang sah.
Cara memilih tanda akar pada invers fungsi kuadrat: lihat pembatasan domainnya. Kalau domain berada di kanan sumbu simetri (x ≥ p), pakai tanda positif. Kalau domain berada di kiri sumbu simetri (x ≤ p), pakai tanda negatif. Kedua pilihan sama-sama memenuhi persamaan kuadratnya, tetapi hanya satu yang jatuh di dalam domain yang diminta soal.
Contoh Soal Fungsi Invers Bentuk Akar
Fungsi akar adalah kebalikan alami dari fungsi kuadrat, jadi inversnya pasti berbentuk kuadrat. Kunci ketelitiannya ada di domain, karena hasil akar kuadrat tidak pernah negatif.
Soal 7. Diketahui f(x) = √(3x - 6) + 1. Tentukan f⁻¹(x) beserta domainnya.
Pembahasan. Domain f ditentukan oleh syarat 3x - 6 ≥ 0, yaitu x ≥ 2. Karena √(3x - 6) selalu tidak negatif, nilai terkecil f adalah 1, sehingga daerah hasil f adalah y ≥ 1. Sekarang selesaikan persamaannya: dari y = √(3x - 6) + 1 diperoleh y - 1 = √(3x - 6). Kuadratkan kedua ruas menjadi (y - 1)² = 3x - 6, lalu 3x = (y - 1)² + 6 dan x = ((y - 1)² + 6)/3. Jadi f⁻¹(x) = ((x - 1)² + 6)/3, atau kalau dijabarkan (x² - 2x + 7)/3, dengan domain x ≥ 1.
Verifikasi. f(f⁻¹(x)) = √(3 × ((x - 1)² + 6)/3 - 6) + 1 = √((x - 1)²) + 1. Akar dari sebuah kuadrat menghasilkan nilai mutlak, jadi hasilnya adalah |x - 1| + 1. Karena domain f⁻¹ adalah x ≥ 1, nilai x - 1 tidak negatif sehingga |x - 1| = x - 1 dan seluruhnya menjadi (x - 1) + 1 = x. Di sinilah pembatasan domain terbukti bukan formalitas: tanpa syarat x ≥ 1, rumus tersebut gagal menjadi invers.
Perhatikan pola bolak-baliknya. Invers fungsi kuadrat berdomain terbatas berbentuk akar (Soal 5 dan Soal 6), sedangkan invers fungsi akar berbentuk kuadrat berdomain terbatas (Soal 7). Pasangan ini selalu berlaku, jadi kalau jawabanmu untuk soal berbentuk akar ternyata bukan fungsi kuadrat, besar kemungkinan ada langkah yang terlewat.
Contoh Soal Fungsi Invers Eksponen dan Logaritma
Eksponen dan logaritma adalah pasangan invers bawaan. Fungsi y = a pangkat x punya invers berupa logaritma basis a dari x, dan sebaliknya. Karena itu setiap soal invers yang memuat eksponen hampir pasti berujung pada logaritma, dan sebaliknya. Kalau dasarnya masih goyah, ulangi dulu contoh soal eksponen sebelum masuk ke dua nomor berikut.
Soal 8. Diketahui f(x) = 2x + 3 - 5. Tentukan f⁻¹(x) beserta domainnya.
Pembahasan. Isolasi bentuk eksponennya lebih dulu: dari y = 2x + 3 - 5 diperoleh y + 5 = 2x + 3. Ubah ke bentuk logaritma sehingga x + 3 = ²log(y + 5), lalu x = ²log(y + 5) - 3. Tukar variabelnya dan hasilnya f⁻¹(x) = ²log(x + 5) - 3. Domainnya ditentukan oleh syarat numerus positif, yaitu x + 5 > 0 atau x > -5.
Verifikasi. f(f⁻¹(x)) = 2²log(x + 5) - 3 + 3 - 5 = 2²log(x + 5) - 5 = (x + 5) - 5 = x. Domainnya juga konsisten: nilai 2x + 3 selalu positif, jadi daerah hasil f adalah y > -5, dan daerah hasil f itulah yang menjadi domain f⁻¹.
Soal 9. Diketahui f(x) = ³log(2x - 1) + 4. Tentukan f⁻¹(x).
Pembahasan. Domain f dibatasi oleh syarat 2x - 1 > 0, yaitu x > 1/2. Dari y = ³log(2x - 1) + 4 diperoleh y - 4 = ³log(2x - 1). Ubah ke bentuk eksponen sehingga 2x - 1 = 3y - 4, lalu 2x = 3y - 4 + 1 dan x = (3y - 4 + 1)/2. Jadi f⁻¹(x) = (3x - 4 + 1)/2 dengan domain seluruh bilangan real.
Verifikasi. f(f⁻¹(x)) = ³log(2 × (3x - 4 + 1)/2 - 1) + 4 = ³log(3x - 4 + 1 - 1) + 4 = ³log(3x - 4) + 4 = (x - 4) + 4 = x. Daerah hasil f⁻¹ adalah y > 1/2, persis sama dengan domain f, seperti yang seharusnya terjadi pada pasangan fungsi dan inversnya.
Contoh Soal Invers dari Fungsi Komposisi
Ini tipe gabungan yang paling sering keluar sekaligus paling sering salah. Aturannya: invers dari komposisi adalah komposisi dari invers, tetapi urutannya dibalik, yaitu (f o g)⁻¹(x) = (g⁻¹ o f⁻¹)(x).
Analoginya seperti memakai kaus kaki lalu sepatu. Untuk melepasnya kamu tidak bisa mulai dari kaus kaki; sepatu harus dilepas lebih dulu. Fungsi yang dikerjakan terakhir adalah fungsi yang harus dibatalkan pertama. Menulis (f o g)⁻¹ = f⁻¹ o g⁻¹ adalah kesalahan urutan yang paling mahal di bab ini. Aturan yang sama berlaku untuk komposisi tiga fungsi: invers dari (f o g o h) adalah h⁻¹ o g⁻¹ o f⁻¹, urutannya dibalik seluruhnya.
Soal 10. Diketahui f(x) = 2x - 3 dan g(x) = x + 5. Tentukan (f o g)⁻¹(x).
Pembahasan cara pertama. Susun komposisinya dulu: (f o g)(x) = f(g(x)) = 2(x + 5) - 3 = 2x + 10 - 3 = 2x + 7. Lalu cari inversnya dengan langkah baku: dari y = 2x + 7 diperoleh x = (y - 7)/2, sehingga (f o g)⁻¹(x) = (x - 7)/2.
Pembahasan cara kedua. Pakai aturan pembalikan urutan. Dari f(x) = 2x - 3 didapat f⁻¹(x) = (x + 3)/2, dan dari g(x) = x + 5 didapat g⁻¹(x) = x - 5. Maka (g⁻¹ o f⁻¹)(x) = g⁻¹(f⁻¹(x)) = (x + 3)/2 - 5 = (x + 3 - 10)/2 = (x - 7)/2. Hasilnya sama persis.
Sekarang bandingkan dengan urutan yang salah. Kalau seseorang menghitung f⁻¹(g⁻¹(x)), hasilnya ((x - 5) + 3)/2 = (x - 2)/2, dan itu keliru. Uji cepat membuktikannya: (f o g)(1) = 2 + 7 = 9, jadi inversnya wajib mengembalikan 9 menjadi 1. Rumus (x - 7)/2 memberi (9 - 7)/2 = 1 yang benar, sedangkan (x - 2)/2 memberi 3,5 yang jelas salah.
Soal 11. Diketahui f(x) = 3x + 2 dan (f o g)(x) = 6x - 4. Tentukan g⁻¹(x).
Pembahasan. Cari g(x) lebih dulu. Karena (f o g)(x) = f(g(x)) = 3 × g(x) + 2, persamaannya menjadi 3 × g(x) + 2 = 6x - 4, sehingga 3 × g(x) = 6x - 6 dan g(x) = 2x - 2. Baru setelah itu cari inversnya: dari y = 2x - 2 diperoleh x = (y + 2)/2, jadi g⁻¹(x) = (x + 2)/2.
Verifikasi. Dilakukan dua lapis. Pertama, g(g⁻¹(x)) = 2 × ((x + 2)/2) - 2 = (x + 2) - 2 = x. Kedua, pastikan g yang ditemukan memang benar: f(g(x)) = 3(2x - 2) + 2 = 6x - 6 + 2 = 6x - 4, cocok dengan yang diketahui soal.
Soal 12. Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = (x - 1)/(x + 3) dengan x ≠ -3. Tentukan (g o f)⁻¹(x).
Pembahasan. Susun komposisinya: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = ((x + 2) - 1)/((x + 2) + 3) = (x + 1)/(x + 5), dengan syarat x ≠ -5. Sekarang cari inversnya. Dari y = (x + 1)/(x + 5) diperoleh y(x + 5) = x + 1, yaitu xy + 5y = x + 1. Kumpulkan suku ber-x: xy - x = 1 - 5y, lalu x(y - 1) = 1 - 5y sehingga x = (1 - 5y)/(y - 1). Jadi (g o f)⁻¹(x) = (1 - 5x)/(x - 1) dengan x ≠ 1.
Verifikasi. Tulis h(x) = (x + 1)/(x + 5) dan t = (1 - 5x)/(x - 1). Pembilang h(t) adalah t + 1 = (1 - 5x + x - 1)/(x - 1) = -4x/(x - 1). Penyebutnya t + 5 = (1 - 5x + 5x - 5)/(x - 1) = -4/(x - 1). Hasil baginya -4x dibagi -4, yaitu x. Rumus cepat pecahan linear memberi jawaban yang sama: dengan a = 1, b = 1, c = 1, dan d = 5 diperoleh (-5x + 1)/(x - 1).
Rangkuman Rumus Invers dan Domainnya untuk 12 Soal di Atas
Tabel berikut merangkum seluruh jawaban supaya kamu bisa mengecek pekerjaan sendiri tanpa menggulir ulang. Kolom domain f⁻¹ sengaja dipisah karena bagian itulah yang paling sering hilang dari lembar jawaban.
| Soal | f(x) | f⁻¹(x) | Domain f⁻¹ |
|---|---|---|---|
| 1 | 3x - 7 | (x + 7)/3 | Seluruh bilangan real |
| 2 | 4 - 5x | (4 - x)/5 | Seluruh bilangan real |
| 3 | (2x + 1)/(x - 3) | (3x + 1)/(x - 2) | x ≠ 2 |
| 4 | (x - 4)/(2x + 3) | (-3x - 4)/(2x - 1) | x ≠ 1/2 |
| 5 | x² - 4x + 7 pada x ≥ 2 | 2 + √(x - 3) | x ≥ 3 |
| 6 | x² + 6x + 5 pada x ≤ -3 | -3 - √(x + 4) | x ≥ -4 |
| 7 | √(3x - 6) + 1 | ((x - 1)² + 6)/3 | x ≥ 1 |
| 8 | 2x + 3 - 5 | ²log(x + 5) - 3 | x > -5 |
| 9 | ³log(2x - 1) + 4 | (3x - 4 + 1)/2 | Seluruh bilangan real |
| 10 | (f o g)(x) = 2x + 7 | (x - 7)/2 | Seluruh bilangan real |
| 11 | g(x) = 2x - 2 | (x + 2)/2 | Seluruh bilangan real |
| 12 | (g o f)(x) = (x + 1)/(x + 5) | (1 - 5x)/(x - 1) | x ≠ 1 |
Kesalahan yang Paling Sering Bikin Jawaban Invers Salah
Setelah 12 nomor di atas, polanya kelihatan. Hampir semua jawaban invers yang meleset jatuh ke salah satu dari enam kekeliruan berikut.
- Menganggap f⁻¹(x) sama dengan 1/f(x). Angka -1 pada notasi invers bukan pangkat. Kalau f(x) = 3x - 7, inversnya (x + 7)/3, bukan 1/(3x - 7).
- Salah memilih tanda akar pada fungsi kuadrat. Kedua tanda memenuhi persamaan kuadratnya, tetapi hanya satu yang jatuh di dalam domain yang diminta. Lihat kembali pembahasan Soal 6.
- Salah tanda saat memindahkan ruas di bentuk pecahan. Bagian paling rawan adalah saat memfaktorkan x dari xy - 2x menjadi x(y - 2). Satu tanda meleset, seluruh jawaban ikut meleset.
- Membalik urutan invers komposisi. Yang benar adalah (f o g)⁻¹ = g⁻¹ o f⁻¹, bukan f⁻¹ o g⁻¹.
- Tidak menuliskan domain f⁻¹. Pada bentuk pecahan, akar, dan logaritma, domain adalah bagian dari jawaban, bukan tambahan opsional.
- Berhenti sebelum verifikasi. Substitusi balik f(f⁻¹(x)) menutup lima kesalahan di atas sekaligus dalam hitungan detik.
Untuk konteks ujiannya, SNPMB mencantumkan Pengetahuan Kuantitatif dan Penalaran Matematika sebagai bagian dari materi tes UTBK-SNBT, sementara kerangka TKA Matematika menuliskan invers fungsi sebagai butir tersendiri. Kalau kamu sedang memetakan cakupan ujian, mulai dari materi UTBK, lalu dalami subtes berhitungnya lewat TPS UTBK dan kenali tipe soalnya lewat contoh soal TKA. Jadwal serta ketentuan resminya selalu diumumkan panitia di laman SNPMB, jadi pantau dari sana, bukan dari kabar berantai.
Latihan yang paling efektif untuk bab ini bukan mengerjakan seratus nomor sekaligus, melainkan mengerjakan lima nomor yang berbeda bentuk lalu memverifikasi kelimanya dengan substitusi balik. Bank soal dan tryout Target Lulus bisa kamu pakai untuk memancing variasi bentuk yang belum pernah kamu temui, terutama bentuk pecahan dan invers komposisi yang paling sering muncul.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa itu fungsi invers?
Fungsi invers adalah fungsi yang membalik arah kerja fungsi asal, sehingga setiap keluaran dikembalikan ke masukan yang menghasilkannya. Notasinya ditulis f⁻¹(x) dan dibaca f invers x. Hubungannya ditandai dua persamaan, yaitu f⁻¹(f(x)) = x dan f(f⁻¹(x)) = x. Karena arahnya dibalik, domain fungsi asal menjadi daerah hasil inversnya, dan sebaliknya.
Apa syarat sebuah fungsi punya invers?
Fungsi tersebut harus bijektif, yaitu injektif (satu-satu) sekaligus surjektif (onto). Uji praktisnya memakai garis horizontal: kalau ada garis mendatar yang memotong grafik di lebih dari satu titik, fungsi itu tidak punya fungsi invers. Fungsi kuadrat baru punya invers setelah domainnya dibatasi ke salah satu sisi sumbu simetri.
Bagaimana langkah mencari rumus fungsi invers?
Tulis y = f(x), selesaikan persamaan itu untuk x sehingga x dinyatakan dalam y, lalu tukar variabelnya sehingga y menjadi x dan ruas satunya menjadi f⁻¹(x). Setelah itu tentukan domain f⁻¹, yang nilainya sama dengan daerah hasil f. Langkah terakhir yang tidak boleh dilewat adalah substitusi balik untuk memastikan f(f⁻¹(x)) = x.
Apa bedanya fungsi invers dan fungsi komposisi?
Fungsi komposisi menyambung dua fungsi menjadi satu fungsi baru dan ditulis (f o g)(x) = f(g(x)), sedangkan fungsi invers membalik satu fungsi dan ditulis f⁻¹(x). Komposisi butuh minimal dua fungsi, invers cukup satu. Syaratnya juga berbeda: komposisi menuntut daerah hasil g termuat di daerah asal f, sedangkan invers menuntut fungsinya bijektif.
Apakah f invers (x) sama dengan 1/f(x)?
Tidak sama. Angka -1 pada notasi f⁻¹ bukan pangkat melainkan lambang invers. Contohnya untuk f(x) = 2x, inversnya adalah f⁻¹(x) = x/2, sedangkan 1/f(x) = 1/(2x). Keduanya fungsi yang berbeda dan menukarnya termasuk kesalahan paling sering pada bab ini.
Bagaimana cara mencari invers fungsi kuadrat?
Ubah dulu ke bentuk kuadrat sempurna a(x - p)² + q, pastikan domainnya sudah dibatasi ke satu sisi sumbu simetri x = p, lalu tarik akar kedua ruas. Kalau domainnya x ≥ p, pakai akar positif sehingga f⁻¹(x) = p + √((x - q)/a). Kalau domainnya x ≤ p, pakai akar negatif sehingga f⁻¹(x) = p - √((x - q)/a).
Apa rumus invers dari fungsi komposisi?
Invers dari komposisi adalah komposisi dari invers dengan urutan dibalik, yaitu (f o g)⁻¹(x) = (g⁻¹ o f⁻¹)(x). Urutannya dibalik karena fungsi yang dikerjakan terakhir harus dibatalkan lebih dulu. Menulis (f o g)⁻¹ = f⁻¹ o g⁻¹ adalah kesalahan yang sering muncul dan hasilnya berbeda.
Apakah materi fungsi invers keluar di UTBK-SNBT dan TKA?
Kerangka asesmen TKA Matematika jenjang SMA yang diterbitkan Pusat Asesmen Pendidikan Kemendikdasmen mencantumkan butir invers fungsi dan representasinya secara tersendiri. Untuk UTBK-SNBT, SNPMB menyebut Pengetahuan Kuantitatif dan Penalaran Matematika sebagai bagian dari materi tes, dan keduanya bisa memuat soal berbasis fungsi. Ketentuan serta jadwal terbarunya selalu diumumkan di laman resmi SNPMB.
Ditulis oleh
Tim Redaksi Target Lulus
Tim penyusun konten Target Lulus. Seluruh info seleksi dirujuk ke pengumuman resmi BKN, KemenPAN-RB, SNPMB, dan instansi terkait dengan tautan sumber di setiap artikel.
Tim Redaksi Target Lulus menyusun rangkuman materi, bank soal, dan panduan seleksi berdasarkan kisi-kisi serta peraturan resmi. Setiap klaim jadwal dan persyaratan selalu ditautkan ke sumber resminya.
Diawasi oleh Ahmad Thariq Syauqi, penanggung jawab redaksi Target Lulus. Profil dan kredensial lengkap ada di halaman Tentang.
