Contoh Soal Translasi dan Pembahasannya: 14 Nomor Transformasi Geometri
Contoh soal translasi yang dibahas di sini adalah materi transformasi geometri, yaitu pergeseran titik dan bangun pada bidang koordinat. Ada 14 soal berpembahasan langkah demi langkah, mulai dari rumus bayangan titik, translasi segitiga dan persegi panjang, translasi garis, parabola, dan lingkaran, sampai komposisi dua translasi. Setiap soal garis dan kurva diperiksa ulang memakai metode titik uji.
Contoh soal translasi di halaman ini semuanya soal transformasi geometri, yaitu pergeseran titik dan bangun pada bidang koordinat, bukan soal menerjemahkan bahasa. Translasi memindahkan setiap titik sejauh jarak yang sama dan ke arah yang sama, sehingga bentuk dan ukuran objek tidak berubah, hanya posisinya yang bergeser. Artikel ini memuat 14 soal berpembahasan yang disusun bertahap, mulai dari menggeser satu titik, menggeser segitiga dan persegi panjang, menggeser garis, parabola, dan lingkaran, sampai komposisi dua translasi berturut-turut. Pangkat ditulis dengan format x2 dan vektor translasi ditulis mendatar sebagai T = (a, b) supaya tetap terbaca rapi di layar ponsel.
Ringkasnya: translasi T = (a, b) memindahkan titik (x, y) menjadi (x + a, y + b). Untuk garis dan kurva, aturannya justru kebalikan dari yang sering dikira. Persamaan bayangan diperoleh dengan mengganti x menjadi (x - a) dan y menjadi (y - b) pada persamaan asal. Ukuran, besar sudut, dan gradien garis tidak berubah, karena translasi hanya menggeser.
Contoh Soal Translasi Membahas Pergeseran, Bukan Terjemahan Bahasa
Kata "translasi" memang punya dua arti yang jauh berbeda. Di pelajaran bahasa, translasi berarti terjemahan. Di matematika, translasi adalah salah satu jenis transformasi geometri, yakni aturan yang memindahkan objek pada bidang koordinat. Kalau kamu mencari latihan soal dan yang muncul adalah gambar titik A dan bayangannya A aksen di bidang Kartesius, itu berarti kamu sedang berada di bab yang benar: bab transformasi geometri.
Bab ini biasa dipelajari di kelas XI pada mata pelajaran Matematika Umum. Modul resmi yang diterbitkan Direktorat SMA dan tersimpan di repositori institusi Kemendikdasmen memakai judul yang lugas, yaitu Modul Pembelajaran SMA Matematika Umum Kelas XI: Transformasi Geometri. Di dalamnya, translasi diletakkan sebagai materi pembuka sebelum refleksi, rotasi, dan dilatasi, karena rumusnya paling sederhana dan menjadi fondasi bagi tiga transformasi berikutnya.
Materi ini juga tidak berhenti di ulangan sekolah. Pada kerangka asesmen Tes Kemampuan Akademik jenjang SMA yang diterbitkan Pusat Asesmen Pendidikan Kemendikdasmen, salah satu rumusan kompetensi yang diuji berbunyi "menyelesaikan permasalahan terkait transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi, serta komposisinya) dari titik". Artinya, translasi termasuk materi yang secara eksplisit masuk daftar kompetensi asesmen nasional, bukan sekadar materi pelengkap.
Pengertian Translasi dan Sifat yang Selalu Dipakai di Soal
Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah yang sama. Bayangkan sebuah meja yang kamu dorong lurus ke pojok ruangan. Semua bagian meja bergerak sejauh yang sama, meja tidak berputar, tidak terbalik, dan tidak mengecil. Itulah gambaran translasi. Karena semua titik bergerak seragam, translasi masuk kelompok isometri, yakni transformasi yang mempertahankan jarak.
Ada beberapa sifat yang hampir selalu dipakai untuk memeriksa jawaban. Pertama, jarak antara dua titik mana pun tidak berubah setelah ditranslasi. Kedua, besar setiap sudut tetap sama. Ketiga, luas dan keliling bangun tidak berubah, sehingga bangun bayangan selalu kongruen dengan bangun asalnya. Keempat, garis hasil translasi selalu sejajar dengan garis asalnya, jadi gradiennya tetap. Kelima, lingkaran hasil translasi punya jari-jari yang sama, hanya pusatnya yang berpindah.
Satu lagi yang sering dilewatkan: translasi dengan vektor (0, 0) tidak memindahkan apa pun. Translasi seperti ini disebut translasi identitas, dan gunanya muncul saat kamu mengerjakan soal komposisi. Kalau dua translasi berturut-turut menghasilkan (0, 0), berarti translasi kedua adalah kebalikan dari yang pertama dan objek kembali ke posisi semula.
Notasi Vektor Translasi dan Cara Membacanya
Vektor translasi ditulis dengan dua bilangan. Bilangan pertama, sebut saja a, menyatakan pergeseran mendatar sepanjang sumbu X. Bilangan kedua, sebut saja b, menyatakan pergeseran tegak sepanjang sumbu Y. Di buku sekolah, vektor ini biasanya ditulis sebagai matriks kolom dengan a di baris atas dan b di baris bawah. Di layar, penulisan mendatar T = (a, b) lebih praktis dan artinya persis sama.
Tanda pada a dan b menentukan arahnya. Nilai a positif berarti bergeser ke kanan, a negatif berarti ke kiri, b positif berarti ke atas, dan b negatif berarti ke bawah. Kalau kedua bilangan tidak nol, pergeserannya miring, yaitu gabungan gerak mendatar dan gerak tegak. Tabel berikut memakai satu titik acuan yang sama, yaitu (2, 3), supaya efek tiap vektor gampang dibandingkan.
| Bentuk vektor | Arti pergeseran | Contoh vektor | Bayangan titik (2, 3) |
|---|---|---|---|
| a positif, b nol | ke kanan sejauh a satuan | T = (5, 0) | (7, 3) |
| a negatif, b nol | ke kiri sejauh nilai mutlak a | T = (-4, 0) | (-2, 3) |
| a nol, b positif | ke atas sejauh b satuan | T = (0, 6) | (2, 9) |
| a nol, b negatif | ke bawah sejauh nilai mutlak b | T = (0, -2) | (2, 1) |
| a dan b tidak nol | miring, mendatar sekaligus tegak | T = (3, -1) | (5, 2) |
| a nol, b nol | tidak bergeser, translasi identitas | T = (0, 0) | (2, 3) |
Rumus Bayangan Translasi untuk Titik, Garis, Kurva, dan Bangun
Rumus dasarnya cuma satu baris. Jika titik A(x, y) ditranslasi oleh T = (a, b), maka bayangannya adalah A aksen (x + a, y + b). Semua kasus lain diturunkan dari baris ini, termasuk kasus garis dan kurva yang sering bikin bingung.
Kenapa untuk persamaan aturannya jadi mengurangi? Karena yang dicari adalah persamaan yang dipenuhi oleh titik bayangan, bukan titik asal. Misalkan titik asal (x, y) dan titik bayangan (x aksen, y aksen). Hubungannya x aksen = x + a dan y aksen = y + b. Kalau dibalik, x = x aksen dikurangi a dan y = y aksen dikurangi b. Nah, yang memenuhi persamaan asal adalah (x, y), jadi tinggal masukkan bentuk hasil pembalikan itu ke persamaan asal. Setelah tanda aksen dihapus, hasilnya adalah persamaan asal dengan x diganti (x - a) dan y diganti (y - b).
| Objek yang ditranslasi | Cara mengerjakan | Contoh singkat |
|---|---|---|
| Titik (x, y) | Tambahkan vektornya: (x + a, y + b) | A(1, 2) oleh T = (3, 4) menjadi A aksen (4, 6) |
| Ruas garis, segitiga, atau poligon | Translasikan setiap titik sudutnya satu per satu | Segitiga bertitik sudut tiga, jadi ada tiga perhitungan |
| Garis dalam bentuk persamaan | Ganti x dengan (x - a) dan y dengan (y - b) | y = 2x oleh T = (1, 0) menjadi y = 2x - 2 |
| Kurva (parabola, lingkaran, dan sejenisnya) | Aturan substitusi yang sama persis | y = x2 oleh T = (0, 5) menjadi y = x2 + 5 |
| Dua translasi berturut-turut | Jumlahkan kedua vektornya | T1 = (2, 3) dan T2 = (-5, 1) setara T = (-3, 4) |
Contoh Soal Translasi Titik dan Pembahasannya
Soal 1. Titik A(3, -5) ditranslasi oleh T = (4, 7). Tentukan bayangannya.
Pembahasan. Tambahkan komponen vektor ke koordinat titik. Absis bayangan adalah 3 + 4 = 7 dan ordinat bayangan adalah -5 + 7 = 2. Jadi bayangannya A aksen (7, 2). Perhatikan bahwa ordinat berubah dari negatif menjadi positif karena pergeseran ke atas sejauh 7 satuan lebih besar daripada jarak titik itu di bawah sumbu X.
Soal 2. Titik P(-2, 6) ditranslasi dan bayangannya adalah P aksen (5, 1). Tentukan vektor translasinya.
Pembahasan. Vektor translasi dicari dengan mengurangkan koordinat asal dari koordinat bayangan. Komponen mendatar: a = 5 dikurangi (-2) sama dengan 7. Komponen tegak: b = 1 dikurangi 6 sama dengan -5. Jadi T = (7, -5), artinya bergeser 7 satuan ke kanan dan 5 satuan ke bawah. Uji balik: (-2 + 7, 6 - 5) memang menghasilkan (5, 1).
Soal 3. Bayangan sebuah titik oleh translasi T = (-6, 3) adalah Q aksen (-1, 8). Tentukan titik asalnya.
Pembahasan. Soal ini meminta prapeta, jadi arah pengerjaannya dibalik. Kurangkan vektor translasi dari koordinat bayangan. Absis asal: -1 dikurangi (-6) sama dengan 5. Ordinat asal: 8 dikurangi 3 sama dengan 5. Jadi titik asalnya Q(5, 5). Uji balik: (5 - 6, 5 + 3) menghasilkan (-1, 8), cocok dengan yang diketahui.
Contoh Soal Translasi Bangun Datar dan Pembahasannya
Soal 4. Segitiga ABC mempunyai titik sudut A(1, 2), B(4, 2), dan C(1, 6). Segitiga itu ditranslasi oleh T = (-3, 5). Tentukan koordinat bayangannya dan bandingkan luasnya.
Pembahasan. Bangun datar ditranslasi dengan cara menggeser setiap titik sudutnya. A(1, 2) menjadi A aksen (1 - 3, 2 + 5) yaitu (-2, 7). B(4, 2) menjadi B aksen (1, 7). C(1, 6) menjadi C aksen (-2, 11). Untuk luasnya, sisi AB mendatar sepanjang 4 dikurangi 1 sama dengan 3 satuan, dan sisi AC tegak sepanjang 6 dikurangi 2 sama dengan 4 satuan, sehingga luas segitiga asal adalah setengah kali 3 kali 4 sama dengan 6 satuan luas. Pada bayangan, sisi A aksen B aksen tetap sepanjang 1 dikurangi (-2) sama dengan 3 satuan dan sisi A aksen C aksen tetap sepanjang 11 dikurangi 7 sama dengan 4 satuan, jadi luasnya juga 6 satuan luas. Luas tidak berubah, sesuai sifat isometri.
Soal 5. Persegi panjang PQRS mempunyai titik sudut P(-1, -2), Q(5, -2), R(5, 3), dan S(-1, 3). Bangun itu ditranslasi oleh T = (-4, 6). Tentukan bayangannya, lalu periksa keliling dan luasnya.
Pembahasan. Geser keempat titik sudut. P menjadi P aksen (-5, 4), Q menjadi Q aksen (1, 4), R menjadi R aksen (1, 9), dan S menjadi S aksen (-5, 9). Panjang persegi panjang asal adalah 5 dikurangi (-1) sama dengan 6 satuan, lebarnya 3 dikurangi (-2) sama dengan 5 satuan, sehingga kelilingnya 2 kali (6 + 5) sama dengan 22 satuan dan luasnya 30 satuan luas. Pada bayangan, panjangnya 1 dikurangi (-5) sama dengan 6 satuan dan lebarnya 9 dikurangi 4 sama dengan 5 satuan. Keliling dan luasnya sama persis. Kalau hasil hitunganmu berbeda, hampir pasti ada satu titik sudut yang salah digeser.
Aturan Substitusi yang Bikin Translasi Garis Sering Terbalik
Bagian inilah yang paling sering salah, bahkan di banyak kumpulan soal yang beredar. Untuk titik, kamu menambahkan a dan b. Untuk persamaan garis atau kurva, kamu mengurangkan. Dua aturan itu terasa bertentangan, padahal keduanya berasal dari hubungan yang sama dan hanya berbeda arah pembacaan.
Ambil contoh sederhana. Garis y = x ditranslasi oleh T = (3, 0), artinya digeser 3 satuan ke kanan. Titik (0, 0) yang ada di garis itu berpindah ke (3, 0). Kalau kamu memakai substitusi yang benar, x diganti (x - 3), sehingga bayangannya y = x - 3. Titik (3, 0) memang memenuhi y = x - 3 karena 3 dikurangi 3 sama dengan 0. Sebaliknya, kalau kamu memakai substitusi terbalik dan menulis y = x + 3, titik (3, 0) tidak memenuhinya karena 3 ditambah 3 sama dengan 6, bukan 0. Jadi versi terbalik itu salah.
Dari situ lahir cara pemeriksaan yang cepat dan tidak butuh rumus tambahan, yaitu metode titik uji. Ambil satu titik yang jelas berada pada objek asal, translasikan titik itu memakai rumus penjumlahan, lalu masukkan hasilnya ke persamaan bayangan yang kamu peroleh. Kalau persamaannya benar, titik hasil translasi pasti memenuhinya. Kalau tidak memenuhi, berarti arah substitusimu terbalik atau ada kesalahan aljabar. Semua soal garis dan kurva di bawah ini diperiksa dengan cara itu.
Cara cepat memeriksa jawaban sendiri: pilih satu titik pada objek asal yang koordinatnya bulat, geser titik itu dengan menambahkan a dan b, lalu substitusikan ke persamaan bayangan hasil kerjamu. Kalau ruas kiri dan ruas kanan tidak sama, jangan lanjut. Balik dulu arah substitusinya, karena kesalahan tanda pada langkah ini akan merusak seluruh sisa perhitungan.
Contoh Soal Translasi Garis dan Pembahasannya
Soal 6. Garis g dengan persamaan 2x - 3y + 6 = 0 ditranslasi oleh T = (5, -2). Tentukan persamaan bayangannya.
Pembahasan. Ganti x dengan (x - 5) dan ganti y dengan (y - (-2)) yaitu (y + 2). Persamaannya menjadi 2(x - 5) - 3(y + 2) + 6 = 0. Jabarkan: 2x - 10 - 3y - 6 + 6 = 0. Gabungkan konstantanya: 2x - 3y - 10 = 0. Jadi bayangannya adalah garis 2x - 3y - 10 = 0.
Uji titik. Ambil titik pada garis asal. Untuk x = 0 diperoleh -3y + 6 = 0 sehingga y = 2, jadi (0, 2) berada di garis asal. Translasikan: (0 + 5, 2 - 2) menghasilkan (5, 0). Masukkan ke bayangan: 2 kali 5 dikurangi 3 kali 0 dikurangi 10 sama dengan nol. Cocok. Uji sekali lagi dengan titik lain, misalnya x = 3 memberi y = 4 pada garis asal, dan bayangannya (8, 2). Masukkan: 16 dikurangi 6 dikurangi 10 sama dengan nol. Cocok lagi, jadi jawabannya benar.
Soal 7. Garis y = 3x - 4 ditranslasi oleh T = (-1, 5). Tentukan persamaan bayangannya.
Pembahasan. Ganti x dengan (x - (-1)) yaitu (x + 1), dan ganti y dengan (y - 5). Persamaannya menjadi y - 5 = 3(x + 1) - 4. Jabarkan ruas kanan: 3x + 3 - 4 sama dengan 3x - 1. Jadi y - 5 = 3x - 1, sehingga y = 3x + 4. Perhatikan gradiennya tetap 3, sesuai sifat bahwa garis bayangan sejajar dengan garis asal.
Uji titik. Titik (0, -4) berada pada garis asal karena 3 kali 0 dikurangi 4 sama dengan -4. Translasikan: (0 - 1, -4 + 5) menghasilkan (-1, 1). Masukkan ke bayangan: 3 kali (-1) ditambah 4 sama dengan 1. Cocok. Uji lagi dengan (1, -1) pada garis asal, bayangannya (0, 4), dan 3 kali 0 ditambah 4 memang 4. Cocok, jadi y = 3x + 4 sudah benar.
Contoh Soal Translasi Kurva: Parabola dan Lingkaran
Soal 8. Kurva y = x2 ditranslasi oleh T = (2, -3). Tentukan persamaan bayangannya.
Pembahasan. Ganti x dengan (x - 2) dan y dengan (y - (-3)) yaitu (y + 3). Persamaannya menjadi y + 3 = (x - 2)2. Jabarkan: y + 3 = x2 - 4x + 4, sehingga y = x2 - 4x + 1. Tanda kurung pada (x - 2) wajib dipertahankan sampai selesai dikuadratkan, karena inilah sumber kesalahan aljabar yang paling sering muncul di soal parabola.
Uji titik. Titik puncak kurva asal adalah (0, 0). Translasikan: (0 + 2, 0 - 3) menghasilkan (2, -3). Masukkan ke bayangan: 2 kuadrat dikurangi 4 kali 2 ditambah 1 sama dengan 4 dikurangi 8 ditambah 1 sama dengan -3. Cocok. Uji lagi dengan (1, 1) pada kurva asal, bayangannya (3, -2), dan 9 dikurangi 12 ditambah 1 memang -2. Cocok.
Soal 9. Parabola y = x2 - 6x + 11 ditranslasi sehingga titik puncaknya berpindah ke (1, -4). Tentukan vektor translasinya dan persamaan bayangannya.
Pembahasan. Cari dulu puncak parabola asal dengan melengkapkan kuadrat: x2 - 6x + 11 sama dengan (x - 3)2 + 2, jadi puncaknya (3, 2). Vektor translasi diperoleh dari selisih puncak: a = 1 dikurangi 3 sama dengan -2, dan b = -4 dikurangi 2 sama dengan -6, sehingga T = (-2, -6). Untuk persamaan bayangan, ganti x dengan (x + 2) dan y dengan (y + 6). Diperoleh y + 6 = (x + 2 - 3)2 + 2 yaitu y + 6 = (x - 1)2 + 2, sehingga y = (x - 1)2 - 4 atau dalam bentuk terurai y = x2 - 2x - 3.
Uji titik. Puncak asal (3, 2) seharusnya menjadi (3 - 2, 2 - 6) yaitu (1, -4), sesuai permintaan soal. Masukkan x = 1 ke bayangan: 1 dikurangi 2 dikurangi 3 sama dengan -4. Cocok. Uji titik kedua, ambil x = 4 pada parabola asal yang memberi 16 dikurangi 24 ditambah 11 sama dengan 3, jadi (4, 3) ada di kurva asal. Bayangannya (2, -3), dan 4 dikurangi 4 dikurangi 3 memang -3. Cocok.
Soal 10. Lingkaran x2 + y2 = 25 ditranslasi oleh T = (-4, 3). Tentukan persamaan bayangannya, lalu sebutkan pusat dan jari-jarinya.
Pembahasan. Ganti x dengan (x - (-4)) yaitu (x + 4), dan y dengan (y - 3). Persamaannya menjadi (x + 4)2 + (y - 3)2 = 25. Bentuk ini langsung terbaca sebagai lingkaran berpusat di (-4, 3) dengan jari-jari 5. Perhatikan bahwa pusat lingkaran asal (0, 0) memang berpindah ke (-4, 3), dan jari-jarinya tetap 5 karena translasi tidak mengubah ukuran.
Uji titik. Titik (5, 0) berada pada lingkaran asal karena 25 ditambah 0 sama dengan 25. Translasikan: (5 - 4, 0 + 3) menghasilkan (1, 3). Masukkan ke bayangan: (1 + 4) kuadrat ditambah (3 - 3) kuadrat sama dengan 25 ditambah 0 sama dengan 25. Cocok. Uji lagi dengan (3, 4) pada lingkaran asal, bayangannya (-1, 7), dan (-1 + 4) kuadrat ditambah (7 - 3) kuadrat sama dengan 9 ditambah 16 sama dengan 25. Cocok.
Contoh Soal Komposisi Translasi dan Soal Cerita
Komposisi translasi berarti objek ditranslasi lebih dari satu kali secara berurutan. Hasilnya selalu bisa diringkas menjadi satu translasi tunggal, dengan cara menjumlahkan komponen mendatar dan komponen tegaknya masing-masing. Karena penjumlahan bilangan bersifat komutatif, urutan dua translasi tidak memengaruhi hasil akhir. Sifat ini khas translasi dan tidak berlaku untuk gabungan transformasi yang melibatkan rotasi atau refleksi.
Soal 11. Titik A(2, 4) ditranslasi oleh T1 = (3, -2), lalu hasilnya ditranslasi lagi oleh T2 = (-7, 5). Tentukan bayangan akhirnya.
Pembahasan. Cara bertahap: A(2, 4) oleh T1 menjadi (5, 2), lalu (5, 2) oleh T2 menjadi (-2, 7). Cara ringkas: jumlahkan vektornya lebih dulu, yaitu (3 + (-7), -2 + 5) sama dengan (-4, 3), lalu terapkan sekali pada A sehingga (2 - 4, 4 + 3) menghasilkan (-2, 7). Kedua cara memberi jawaban sama, yaitu A aksen aksen (-2, 7). Kalau urutannya dibalik, T2 dulu baru T1, hasilnya tetap (-2, 7).
Soal 12. Titik B(-3, 7) ditranslasi oleh T1 = (5, -4), lalu ditranslasi lagi oleh T2 yang belum diketahui. Bayangan akhirnya adalah (1, 6). Tentukan T2.
Pembahasan. Kerjakan translasi pertama dulu: (-3 + 5, 7 - 4) menghasilkan (2, 3). Sekarang cari vektor yang memindahkan (2, 3) ke (1, 6). Komponen mendatar: 1 dikurangi 2 sama dengan -1. Komponen tegak: 6 dikurangi 3 sama dengan 3. Jadi T2 = (-1, 3). Uji balik dengan menjumlahkan seluruh perpindahan: -3 ditambah 5 dikurangi 1 sama dengan 1, dan 7 dikurangi 4 ditambah 3 sama dengan 6. Cocok dengan bayangan akhir yang diketahui.
Soal 13. Garis 3x + y - 5 = 0 ditranslasi oleh T1 = (2, 1), lalu ditranslasi lagi oleh T2 = (-1, 4). Tentukan persamaan bayangan akhirnya.
Pembahasan. Ringkas dulu kedua vektornya: (2 + (-1), 1 + 4) sama dengan (1, 5). Sekarang pakai aturan substitusi, ganti x dengan (x - 1) dan y dengan (y - 5). Persamaannya menjadi 3(x - 1) + (y - 5) - 5 = 0. Jabarkan: 3x - 3 + y - 5 - 5 = 0, sehingga 3x + y - 13 = 0.
Uji titik. Titik (0, 5) berada pada garis asal karena 0 ditambah 5 dikurangi 5 sama dengan nol. Translasikan dengan vektor gabungan: (0 + 1, 5 + 5) menghasilkan (1, 10). Masukkan ke bayangan: 3 kali 1 ditambah 10 dikurangi 13 sama dengan nol. Cocok. Uji lagi dengan (1, 2) pada garis asal, bayangannya (2, 7), dan 6 ditambah 7 dikurangi 13 sama dengan nol. Cocok.
Soal 14. Sebuah drone berada di titik K(-2, 5) pada peta berskala satuan koordinat. Drone bergerak 6 satuan ke kanan dan 4 satuan ke bawah, lalu bergerak lagi 3 satuan ke kiri dan 7 satuan ke atas. Tentukan posisi akhirnya.
Pembahasan. Terjemahkan dulu kalimatnya menjadi vektor. Gerakan pertama adalah T1 = (6, -4) dan gerakan kedua adalah T2 = (-3, 7). Cara bertahap: K(-2, 5) oleh T1 menjadi (4, 1), lalu oleh T2 menjadi (1, 8). Cara ringkas: vektor gabungannya (6 - 3, -4 + 7) sama dengan (3, 3), lalu (-2 + 3, 5 + 3) menghasilkan (1, 8). Posisi akhir drone adalah (1, 8). Kunci soal cerita seperti ini bukan hitungannya, melainkan ketelitian mengubah kata "kiri" dan "bawah" menjadi bilangan negatif.
Beda Translasi dengan Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi
Translasi hanyalah satu dari empat transformasi dasar yang dipelajari dalam satu bab. Mengetahui posisinya membantu kamu mengenali tipe soal dengan cepat, terutama pada soal komposisi yang mencampur beberapa transformasi sekaligus. Tabel berikut merangkum perbedaannya beserta rumus dasar yang paling sering dipakai.
| Transformasi | Yang berubah | Yang tetap | Rumus dasar |
|---|---|---|---|
| Translasi T = (a, b) | Posisi saja | Bentuk, ukuran, gradien, orientasi | (x, y) menjadi (x + a, y + b) |
| Refleksi terhadap sumbu X | Posisi dan orientasi cermin | Bentuk dan ukuran | (x, y) menjadi (x, -y) |
| Refleksi terhadap sumbu Y | Posisi dan orientasi cermin | Bentuk dan ukuran | (x, y) menjadi (-x, y) |
| Rotasi 90 derajat berlawanan jarum jam berpusat O | Posisi dan arah hadap | Bentuk dan ukuran | (x, y) menjadi (-y, x) |
| Dilatasi berpusat O dengan faktor k | Ukuran dan posisi | Bentuk (sebangun) dan besar sudut | (x, y) menjadi (kx, ky) |
Tiga transformasi pertama, yaitu translasi, refleksi, dan rotasi, menghasilkan bangun yang kongruen dengan bangun asalnya karena semuanya mempertahankan jarak. Dilatasi berbeda, karena mengubah ukuran, sehingga bangun hasilnya sebangun tetapi tidak kongruen kecuali faktor skalanya bernilai 1 atau -1. Kalau di soal kamu menemukan bangun bayangan yang luasnya berubah, transformasi yang bekerja pasti bukan translasi.
Konteks ujian: pada UTBK-SNBT, laman resmi SNPMB mencantumkan Materi Tes yang terdiri atas Tes Potensi Skolastik (Penalaran Umum, Pengetahuan dan Pemahaman Umum, Pemahaman Bacaan dan Menulis, serta Pengetahuan Kuantitatif) dan Tes Literasi (Literasi dalam Bahasa Indonesia, Literasi dalam Bahasa Inggris, dan Penalaran Matematika). Sementara pada Tes Kemampuan Akademik jenjang SMA, Pusat Asesmen Pendidikan Kemendikdasmen menuliskan muatan TKA Matematika mencakup elemen bilangan, aljabar, geometri dan pengukuran, serta data dan peluang, dengan transformasi geometri disebut eksplisit sebagai salah satu materi pada elemen geometri.
Kesalahan yang Sering Bikin Jawaban Translasi Meleset dan Cara Berlatihnya
Kesalahan pertama dan paling mahal adalah membalik arah substitusi pada persamaan garis atau kurva. Banyak yang menulis x diganti (x + a) karena terbawa rumus titik. Akibatnya seluruh jawaban bergeser ke arah yang berlawanan. Obatnya cuma satu, yaitu biasakan menutup pekerjaan dengan uji titik seperti pada Soal 6 sampai Soal 13.
Kesalahan kedua adalah menukar komponen, misalnya menambahkan a ke ordinat dan b ke absis. Ini biasanya terjadi saat vektor ditulis dalam bentuk matriks kolom dan kamu membacanya terburu-buru. Kesalahan ketiga adalah menghilangkan tanda kurung saat mengkuadratkan bentuk seperti (x - 2), sehingga suku tengahnya hilang. Kesalahan keempat adalah salah membaca perintah, yaitu soal meminta prapeta tetapi dikerjakan seperti mencari bayangan. Kesalahan kelima adalah mengira translasi bisa mengubah gradien garis atau jari-jari lingkaran, padahal keduanya selalu tetap.
Cara berlatih yang efisien adalah mengerjakan ulang keempat belas soal di atas tanpa melihat pembahasan, lalu mencocokkan hasilnya dengan tabel ringkasan berikut. Kalau ada yang meleset, jangan langsung pindah soal. Telusuri di langkah mana angkanya mulai berbeda, karena pola kesalahan pada translasi biasanya berulang di soal-soal berikutnya.
| Soal | Objek | Vektor translasi | Hasil |
|---|---|---|---|
| 1 | Titik A(3, -5) | (4, 7) | A aksen (7, 2) |
| 2 | P(-2, 6) menjadi P aksen (5, 1) | dicari | T = (7, -5) |
| 3 | Prapeta dari Q aksen (-1, 8) | (-6, 3) | Q(5, 5) |
| 4 | Segitiga A(1, 2), B(4, 2), C(1, 6) | (-3, 5) | (-2, 7), (1, 7), (-2, 11), luas tetap 6 |
| 5 | Persegi panjang P(-1, -2) sampai S(-1, 3) | (-4, 6) | (-5, 4), (1, 4), (1, 9), (-5, 9) |
| 6 | Garis 2x - 3y + 6 = 0 | (5, -2) | 2x - 3y - 10 = 0 |
| 7 | Garis y = 3x - 4 | (-1, 5) | y = 3x + 4 |
| 8 | Kurva y = x2 | (2, -3) | y = x2 - 4x + 1 |
| 9 | Parabola y = x2 - 6x + 11 | (-2, -6) | y = x2 - 2x - 3 |
| 10 | Lingkaran x2 + y2 = 25 | (-4, 3) | (x + 4)2 + (y - 3)2 = 25 |
| 11 | Titik A(2, 4), dua translasi | (3, -2) lalu (-7, 5) | (-2, 7) |
| 12 | Titik B(-3, 7), translasi kedua dicari | (5, -4) lalu T2 | T2 = (-1, 3) |
| 13 | Garis 3x + y - 5 = 0, dua translasi | (2, 1) lalu (-1, 4) | 3x + y - 13 = 0 |
| 14 | Drone di K(-2, 5), dua gerakan | (6, -4) lalu (-3, 7) | (1, 8) |
Setelah translasi terasa otomatis, lanjutkan ke materi yang bersinggungan langsung. Bentuk matriks transformasi dibahas lebih dalam pada contoh soal matriks, sedangkan pola menggabungkan dua aturan secara berurutan mirip dengan yang kamu temui pada contoh soal fungsi komposisi. Untuk rotasi yang melibatkan sudut selain kelipatan 90 derajat, dasarnya ada di contoh soal trigonometri. Kalau targetmu ujian terstandar, kenali dulu peta materinya lewat materi UTBK dan struktur subtes UTBK, lalu tambahkan latihan bergaya contoh soal TKA. Bank soal dan tryout di Target Lulus bisa kamu pakai untuk mengukur kecepatan mengerjakan tipe soal transformasi geometri sebelum hari ujian.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa itu translasi dalam matematika?
Translasi adalah transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang koordinat sejauh jarak dan ke arah yang sama. Karena semua titik bergerak seragam, bentuk dan ukuran objek tidak berubah, hanya posisinya yang bergeser. Translasi ditulis dengan vektor T = (a, b), dengan a untuk pergeseran mendatar dan b untuk pergeseran tegak.
Apa rumus bayangan titik oleh translasi?
Jika titik A(x, y) ditranslasi oleh T = (a, b), bayangannya adalah A aksen (x + a, y + b). Jadi absis ditambah komponen mendatar dan ordinat ditambah komponen tegak. Contohnya A(3, -5) oleh T = (4, 7) menghasilkan A aksen (7, 2).
Kenapa translasi garis memakai pengurangan, bukan penambahan?
Karena yang dicari adalah persamaan yang dipenuhi titik bayangan, bukan titik asal. Dari hubungan x aksen = x + a dan y aksen = y + b, diperoleh x = x aksen dikurangi a dan y = y aksen dikurangi b, lalu bentuk itulah yang disubstitusikan ke persamaan asal. Hasilnya, persamaan asal ditulis ulang dengan x diganti (x - a) dan y diganti (y - b).
Bagaimana cara memeriksa jawaban soal translasi garis atau kurva?
Pakai metode titik uji. Ambil satu titik yang jelas berada pada objek asal, geser titik itu dengan menambahkan a dan b, lalu masukkan hasilnya ke persamaan bayangan yang kamu peroleh. Jika ruas kiri dan ruas kanan sama, jawabanmu benar. Jika tidak sama, kemungkinan besar arah substitusinya terbalik.
Apakah translasi mengubah luas dan gradien?
Tidak. Translasi termasuk isometri, sehingga jarak antar titik, besar sudut, keliling, dan luas bangun tidak berubah. Garis hasil translasi selalu sejajar dengan garis asalnya, jadi gradiennya tetap sama. Lingkaran hasil translasi juga punya jari-jari yang sama, hanya pusatnya yang berpindah.
Bagaimana mengerjakan dua translasi berturut-turut?
Jumlahkan komponen kedua vektornya. Jika T1 = (a1, b1) dan T2 = (a2, b2), maka komposisinya setara dengan satu translasi tunggal (a1 + a2, b1 + b2). Karena penjumlahan bersifat komutatif, urutan pengerjaan dua translasi tidak memengaruhi hasil akhirnya.
Apa bedanya translasi dengan refleksi, rotasi, dan dilatasi?
Translasi hanya menggeser tanpa mengubah arah hadap objek. Refleksi mencerminkan sehingga orientasinya terbalik, rotasi memutar terhadap satu titik pusat, dan dilatasi memperbesar atau memperkecil ukuran. Translasi, refleksi, dan rotasi menghasilkan bangun yang kongruen, sedangkan dilatasi menghasilkan bangun yang sebangun tetapi umumnya tidak kongruen.
Apakah materi translasi keluar di ujian seleksi masuk perguruan tinggi?
Transformasi geometri termasuk translasi tercantum sebagai kompetensi pada kerangka asesmen Tes Kemampuan Akademik jenjang SMA yang diterbitkan Pusat Asesmen Pendidikan Kemendikdasmen. Pada UTBK-SNBT, laman resmi SNPMB mencantumkan Penalaran Matematika sebagai bagian Materi Tes, dan soal-soalnya kerap memakai konteks bidang koordinat. Karena itu, menguasai translasi tetap berguna untuk kedua jalur tersebut.
Ditulis oleh
Tim Redaksi Target Lulus
Tim penyusun konten Target Lulus. Seluruh info seleksi dirujuk ke pengumuman resmi BKN, KemenPAN-RB, SNPMB, dan instansi terkait dengan tautan sumber di setiap artikel.
Tim Redaksi Target Lulus menyusun rangkuman materi, bank soal, dan panduan seleksi berdasarkan kisi-kisi serta peraturan resmi. Setiap klaim jadwal dan persyaratan selalu ditautkan ke sumber resminya.
Diawasi oleh Ahmad Thariq Syauqi, penanggung jawab redaksi Target Lulus. Profil dan kredensial lengkap ada di halaman Tentang.
