Contoh Soal Integral dan Pembahasannya: 31 Soal dari Aturan Dasar sampai Volume Benda Putar

Contoh soal integral yang muncul di ujian seleksi sebenarnya berputar pada delapan tipe saja: integral tak tentu fungsi aljabar, bentuk akar dan pangkat negatif, teknik substitusi, integral parsial, integral trigonometri, integral tentu, luas daerah, dan volume benda putar. Halaman ini memuat 31 soal untuk kedelapan tipe itu, ditutup tiga soal cerita bergaya Penalaran Matematika. Semua langkah hitungnya ditulis terbuka, dan setiap hasil integralnya sudah diperiksa ulang dengan cara diturunkan kembali.

Materi ini bukan topik pinggiran. Pada UTBK-SNBT, laman resmi SNPMB mencantumkan Pengetahuan Kuantitatif di dalam Tes Potensi Skolastik dan Penalaran Matematika di dalam Tes Literasi. Di jalur lain, Pusat Asesmen Pendidikan Kemendikdasmen menempatkan Matematika sebagai mata pelajaran wajib pada Tes Kemampuan Akademik jenjang SMA, dengan Matematika Tingkat Lanjut sebagai mata pelajaran pilihan. Integral sendiri diajarkan di kelas XI dan XII, jadi ia termasuk materi yang masih segar saat kamu masuk masa persiapan. Kalau kamu ingin melihat peta subtesnya lebih dulu, buka materi UTBK.

Satu catatan soal penulisan. Notasi di halaman ini sengaja dibuat lurus supaya enak dibaca di layar ponsel. Tulisan ∫ f(x) dx berarti integral tak tentu, sedangkan ∫[a, b] f(x) dx berarti integral tentu dengan batas bawah a dan batas atas b. Pangkat ditulis dengan format x², akar ditulis √x, dan pecahan ditulis mendatar seperti 2/3.

Integral Adalah Kebalikan Turunan: Modal Awal Sebelum Mengerjakan Soal

Kalau turunan menjawab pertanyaan seberapa cepat sesuatu berubah, integral menjawab pertanyaan kebalikannya: fungsi apa yang kalau diturunkan menghasilkan bentuk ini. Modul pembelajaran SMA Matematika Umum Kelas XI terbitan Direktorat SMA Kemendikdasmen menyebutnya dengan tegas, integral fungsi aljabar diperkenalkan sebagai anti turunan, lengkap dengan rumus dasar dan teknik substitusi. Modul turunan dari seri yang sama mendefinisikan turunan sebagai pengukuran bagaimana sebuah fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukkan. Dua modul itu memang sepasang, dan urutan belajarnya memang turunan dulu baru integral.

Contoh paling sederhana: turunan dari x² adalah 2x, maka ∫ 2x dx = x² + C. Kenapa ada tambahan C? Karena turunan dari x² + 7, x² - 3, dan x² + 1.000 sama saja, yaitu 2x. Konstanta lenyap saat diturunkan, jadi ketika proses dibalik kita tidak punya cara tahu konstanta aslinya berapa. Huruf C mewakili semua kemungkinan itu. Lupa menulis C adalah kesalahan paling murah sekaligus paling sering muncul di lembar jawaban.

Dari sifat itu lahir kebiasaan yang perlu kamu bangun sejak hari ini: setiap kali selesai mengintegralkan, turunkan kembali jawabanmu. Kalau hasil turunannya kembali persis ke bentuk yang tadi kamu integralkan, jawabanmu benar. Kalau meleset, kesalahan biasanya cuma di satu tempat, yaitu koefisien di depan. Cara ini juga berguna saat soal berbentuk pilihan ganda: alih alih mengintegralkan, kamu bisa menurunkan opsi jawaban satu per satu sampai ketemu yang cocok dengan integran. Untuk soal bentuk pangkat yang rumit, menurunkan opsi sering lebih cepat daripada mengintegralkan soal.

Sembilan Aturan Dasar Integral dan Cara Mengeceknya Sendiri

Hampir semua soal integral tingkat SMA berdiri di atas satu aturan pangkat plus sedikit turunannya. Tabel berikut memuat aturan yang perlu kamu hafal, ditambah kolom bukti cepat supaya kamu melihat sendiri kenapa aturan itu benar. Kolom bukti cepat itu berisi turunan dari kolom hasil, dan hasilnya selalu kembali ke kolom bentuk integran.

Selain daftar itu, ada dua sifat yang membuat soal panjang jadi jinak. Pertama, integral bersifat linear: ∫ [a · f(x) + b · g(x)] dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx. Artinya kamu boleh memecah integran menjadi suku suku dan mengerjakannya satu per satu. Kedua, konstanta boleh keluar masuk tanda integral, jadi ∫ 5x³ dx sama saja dengan 5 ∫ x³ dx. Perlu diingat, sifat serupa TIDAK berlaku untuk perkalian dua fungsi. Integral dari hasil kali bukan hasil kali dari integral, dan salah paham di titik ini yang melahirkan teknik parsial di bagian berikutnya.

Contoh Soal Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Soal 1. Tentukan ∫ (3x² + 4x - 5) dx.

Pembahasan. Kerjakan suku demi suku dengan aturan pangkat. Suku 3x² menjadi 3x³/3 = x³, suku 4x menjadi 4x²/2 = 2x², dan suku -5 menjadi -5x. Hasilnya x³ + 2x² - 5x + C. Cek turunan: turunan x³ + 2x² - 5x adalah 3x² + 4x - 5, persis integran awal.

Soal 2. Tentukan ∫ (6x⁵ - 2x + 7) dx.

Pembahasan. Suku 6x⁵ menjadi 6x⁶/6 = x⁶, suku -2x menjadi -2x²/2 = -x², dan suku 7 menjadi 7x. Jawabannya x⁶ - x² + 7x + C. Cek turunan: 6x⁵ - 2x + 7, cocok.

Soal 3. Tentukan ∫ (x² - 3)(x + 2) dx.

Pembahasan. Jangan langsung mencari rumus perkalian, karena rumus semacam itu tidak ada di level ini. Kalikan dulu: (x² - 3)(x + 2) = x³ + 2x² - 3x - 6. Baru integralkan suku demi suku sehingga hasilnya x⁴/4 + (2/3)x³ - (3/2)x² - 6x + C. Cek turunan: 4x³/4 + 3 · (2/3)x² - 2 · (3/2)x - 6 = x³ + 2x² - 3x - 6, sama dengan hasil perkalian tadi.

Soal 4. Gradien garis singgung sebuah kurva di setiap titik dinyatakan dengan dy/dx = 4x - 3. Kurva itu melalui titik (2, 5). Tentukan persamaan kurvanya.

Pembahasan. Gradien garis singgung adalah turunan, jadi persamaan kurva didapat dengan mengintegralkan: y = ∫ (4x - 3) dx = 2x² - 3x + C. Di sinilah C berguna. Substitusikan titik (2, 5): 5 = 2(4) - 3(2) + C = 8 - 6 + C, sehingga C = 3. Persamaan kurvanya y = 2x² - 3x + 3. Cek dua arah: turunannya 4x - 3, dan saat x = 2 nilainya 8 - 6 + 3 = 5, tepat melalui titik yang diminta.

Contoh Soal Integral Bentuk Akar dan Pangkat Negatif

Soal tipe ini tampak sulit hanya karena bentuknya tidak ditulis sebagai pangkat. Begitu semua bentuk akar dan pecahan kamu ubah menjadi pangkat, aturan yang dipakai tetap aturan pangkat yang sama. Kalau sifat pangkat pecahan dan pangkat negatif masih goyah, kamu bisa menyegarkannya lewat kumpulan contoh soal eksponen sebelum lanjut.

Soal 5. Tentukan ∫ √x dx.

Pembahasan. Tulis ulang √x sebagai x^1/2. Aturan pangkat memberi x^3/2/(3/2) = (2/3)x^3/2 + C, atau boleh ditulis (2/3)x√x + C. Cek turunan: (2/3) · (3/2)x^1/2 = x^1/2 = √x.

Soal 6. Tentukan ∫ (1/x³) dx.

Pembahasan. Ubah menjadi x^-3. Aturan pangkat memberi x^-2/(-2) + C = -1/(2x²) + C. Perhatikan tanda minusnya, karena penyebut (n + 1) di sini bernilai negatif. Cek turunan: turunan dari -(1/2)x^-2 adalah -(1/2)(-2)x^-3 = x^-3 = 1/x³.

Soal 7. Tentukan ∫ (x² + 1)/√x dx.

Pembahasan. Pecah pembilangnya lebih dulu: (x² + 1)/x^1/2 = x^3/2 + x^-1/2. Integralkan masing masing: x^5/2/(5/2) + x^1/2/(1/2) = (2/5)x^5/2 + 2x^1/2 + C. Cek turunan: (2/5)(5/2)x^3/2 + 2 · (1/2)x^-1/2 = x^3/2 + x^-1/2, sama dengan bentuk yang sudah dipecah tadi.

Soal 8. Tentukan ∫ (3/x + 2e^x) dx.

Pembahasan. Bentuk 3/x tidak boleh dikerjakan dengan aturan pangkat, karena pangkatnya -1 dan penyebut (n + 1) akan menjadi nol. Untuk kasus ini berlaku aturan khusus 1/x yang hasilnya ln|x|. Jadi jawabannya 3 ln|x| + 2e^x + C. Cek turunan: 3 · (1/x) + 2e^x = 3/x + 2e^x. Bentuk logaritma natural dan eksponen natural seperti ini masuk wilayah Matematika Tingkat Lanjut, jadi porsinya lebih besar kalau kamu mengambil mata pelajaran pilihan itu di TKA.

Contoh Soal Integral Substitusi

Substitusi dipakai saat integran memuat sebuah fungsi di dalam fungsi lain, dan turunan fungsi bagian dalam ikut hadir sebagai faktor pengali. Catatan kuliah Kalkulus I Lamar University merumuskan aturannya sebagai ∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du dengan u = g(x). Modul kelas XI Kemendikdasmen memasukkan teknik ini bersama rumus dasar, jadi ia memang bagian dari materi wajib, bukan materi tambahan.

Soal 9. Tentukan ∫ (2x + 1)⁵ dx.

Pembahasan. Misalkan u = 2x + 1, maka du = 2 dx sehingga dx = du/2. Integralnya menjadi (1/2) ∫ u⁵ du = (1/2) · u⁶/6 = u⁶/12. Kembalikan ke x: (2x + 1)⁶/12 + C. Cek turunan: 6(2x + 1)⁵ · 2 / 12 = (2x + 1)⁵, cocok.

Soal 10. Tentukan ∫ 3x²√(x³ + 4) dx.

Pembahasan. Perhatikan bahwa turunan dari x³ + 4 adalah 3x², dan faktor itu sudah tersedia di depan akar. Ini pertanda substitusi akan bersih. Misalkan u = x³ + 4, maka du = 3x² dx. Integralnya berubah menjadi ∫ √u du = (2/3)u^3/2. Kembalikan ke x: (2/3)(x³ + 4)√(x³ + 4) + C. Cek turunan: (2/3) · (3/2)(x³ + 4)^1/2 · 3x² = 3x²√(x³ + 4).

Soal 11. Tentukan ∫ x(x² - 5)⁴ dx.

Pembahasan. Turunan dari x² - 5 adalah 2x, sedangkan yang tersedia hanya x. Selisih faktor 2 itu tinggal ditambal dengan konstanta. Misalkan u = x² - 5, maka du = 2x dx dan x dx = du/2. Integralnya menjadi (1/2) ∫ u⁴ du = u⁵/10, sehingga jawabannya (x² - 5)⁵/10 + C. Cek turunan: 5(x² - 5)⁴ · 2x / 10 = x(x² - 5)⁴.

Contoh Soal Integral Parsial

Integral parsial adalah kebalikan aturan perkalian pada turunan. Catatan Kalkulus II Lamar University menurunkan rumusnya justru dari aturan hasil kali, lalu merapikannya menjadi bentuk yang kita pakai: ∫ u dv = uv - ∫ v du. Kunci soal parsial ada pada pemilihan u. Pilih bagian yang menjadi lebih sederhana kalau diturunkan, biasanya bagian berbentuk x atau polinomial, dan biarkan sisanya menjadi dv.

Soal 12. Tentukan ∫ x cos x dx.

Pembahasan. Pilih u = x sehingga du = dx, dan dv = cos x dx sehingga v = sin x. Masukkan ke rumus: x sin x - ∫ sin x dx = x sin x - (-cos x) = x sin x + cos x + C. Cek turunan: turunan x sin x adalah sin x + x cos x, turunan cos x adalah -sin x, jumlahnya x cos x. Cocok.

Soal 13. Tentukan ∫ 2x sin x dx.

Pembahasan. Pilih u = 2x sehingga du = 2 dx, dan dv = sin x dx sehingga v = -cos x. Rumusnya memberi 2x(-cos x) - ∫ (-cos x)(2 dx) = -2x cos x + 2 ∫ cos x dx = -2x cos x + 2 sin x + C. Cek turunan: turunan -2x cos x adalah -2 cos x + 2x sin x, turunan 2 sin x adalah 2 cos x, dan jumlahnya 2x sin x.

Soal 14. Tentukan ∫ x(x + 3)⁴ dx.

Pembahasan. Soal ini tidak bisa diselesaikan dengan substitusi polos karena turunan (x + 3) adalah 1, bukan x. Pakai parsial: u = x sehingga du = dx, dan dv = (x + 3)⁴ dx sehingga v = (x + 3)⁵/5. Hasilnya x(x + 3)⁵/5 - ∫ (x + 3)⁵/5 dx = x(x + 3)⁵/5 - (x + 3)⁶/30 + C. Cek turunan: turunan suku pertama adalah (x + 3)⁵/5 + x(x + 3)⁴, turunan suku kedua adalah -(x + 3)⁵/5, dan sisanya x(x + 3)⁴. Persis integran awal.

Contoh Soal Integral Trigonometri

Integral trigonometri hanya menambahkan satu lapis hafalan di atas aturan yang sudah ada, yaitu tanda pada sinus dan kosinus. Sisanya soal identitas. Kalau identitas dasar dan nilai sudut istimewa masih sering tertukar, kumpulan contoh soal trigonometri bisa dipakai untuk memanaskan mesin dulu.

Soal 15. Tentukan ∫ (2 sin x - 3 cos x) dx.

Pembahasan. Integral sin x adalah -cos x dan integral cos x adalah sin x. Jadi hasilnya -2 cos x - 3 sin x + C. Perhatikan pergeseran tandanya: koefisien positif pada sinus melahirkan tanda negatif pada kosinus. Cek turunan: turunan -2 cos x adalah 2 sin x, turunan -3 sin x adalah -3 cos x, dan gabungannya 2 sin x - 3 cos x.

Soal 16. Tentukan ∫ cos(3x + 1) dx.

Pembahasan. Isi fungsi berbentuk linear, jadi cukup bagi dengan koefisien x. Hasilnya (1/3) sin(3x + 1) + C. Cek turunan: (1/3) · cos(3x + 1) · 3 = cos(3x + 1). Faktor 3 dari aturan rantai yang membatalkan pembagian tadi.

Soal 17. Tentukan ∫ sin³x cos x dx.

Pembahasan. Turunan sin x adalah cos x, dan cos x sudah tersedia sebagai faktor. Misalkan u = sin x sehingga du = cos x dx. Integralnya menjadi ∫ u³ du = u⁴/4, sehingga jawabannya sin⁴x/4 + C. Cek turunan: 4 sin³x · cos x / 4 = sin³x cos x.

Soal 18. Tentukan ∫ sin²x dx.

Pembahasan. Bentuk pangkat genap tidak bisa disubstitusi langsung. Turunkan dulu pangkatnya dengan identitas sudut ganda: sin²x = (1 - cos 2x)/2. Integralnya menjadi (1/2) ∫ (1 - cos 2x) dx = (1/2)[x - (1/2) sin 2x] = x/2 - (sin 2x)/4 + C. Cek turunan: 1/2 - (2 cos 2x)/4 = (1 - cos 2x)/2 = sin²x.

Contoh Soal Integral Tentu dan Teorema Dasar Kalkulus

Integral tentu memakai batas, dan hasilnya berupa bilangan, bukan fungsi. Teorema dasar kalkulus mengatakan ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a) dengan F anti turunan dari f. Karena konstanta C muncul di F(b) dan F(a) lalu saling menghapus, pada integral tentu kamu tidak perlu menulis C. Materi ini menjadi pintu masuk ke perhitungan luas dan volume, dan pada seri kuliah 18.01SC MIT OpenCourseWare, bagian teorema dasar kedua memang disatukan dengan sesi luas dan volume.

Beberapa sifat yang sering menyingkat pekerjaan: ∫[a, a] f(x) dx = 0; ∫[a, b] f(x) dx = -∫[b, a] f(x) dx; dan ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx. Sifat ketiga berguna saat kurva memotong sumbu X di tengah daerah yang ditanyakan.

Soal 19. Hitung ∫[1, 3] (2x + 1) dx.

Pembahasan. Anti turunannya F(x) = x² + x, dan turunan F memang 2x + 1. Maka hasilnya F(3) - F(1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10.

Soal 20. Hitung ∫[0, 2] (3x² - 2x) dx.

Pembahasan. Anti turunannya F(x) = x³ - x², dan turunannya kembali 3x² - 2x. Maka F(2) - F(0) = (8 - 4) - 0 = 4.

Soal 21. Hitung ∫[0, π/2] sin x dx.

Pembahasan. Anti turunannya F(x) = -cos x. Maka hasilnya -cos(π/2) - (-cos 0) = -0 + 1 = 1. Nilai satu ini juga bisa dibaca sebagai luas daerah di bawah satu gelombang naik kurva sinus dari 0 sampai π/2.

Soal 22. Hitung ∫[0, 1] x(x² + 1)³ dx.

Pembahasan. Pakai substitusi u = x² + 1 sehingga du = 2x dx dan x dx = du/2. Yang sering terlewat: batasnya ikut berubah. Saat x = 0 maka u = 1, dan saat x = 1 maka u = 2. Integralnya menjadi (1/2) ∫[1, 2] u³ du = (1/2)[u⁴/4] dari 1 sampai 2 = (1/2)(16/4 - 1/4) = (1/2)(15/4) = 15/8. Kalau kamu lebih nyaman, boleh juga mengembalikan u ke x dulu baru memasukkan batas lama, hasilnya tetap 15/8.

Contoh Soal Luas Daerah dengan Integral

Soal 23. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 - x² dan sumbu X.

Pembahasan. Cari dulu batasnya, yaitu titik potong dengan sumbu X: 4 - x² = 0 memberi x = -2 dan x = 2. Luasnya ∫[-2, 2] (4 - x²) dx = [4x - x³/3] dari -2 sampai 2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = 32/3 satuan luas, atau sekitar 10,67 satuan luas.

Soal 24. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva y = x² dan garis y = x + 2.

Pembahasan. Titik potongnya diperoleh dari x² = x + 2, yaitu x² - x - 2 = 0 sehingga (x - 2)(x + 1) = 0 dan batasnya x = -1 sampai x = 2. Di antara kedua batas itu garis berada di atas parabola, jadi integrannya kurva atas dikurangi kurva bawah: ∫[-1, 2] (x + 2 - x²) dx = [x²/2 + 2x - x³/3] dari -1 sampai 2 = (2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 9/2 satuan luas. Untuk kasus parabola dan garis, ada jalan pintas L = D√D/(6a²) dengan a dan D diambil dari persamaan kuadrat hasil pengurangan. Di sini a = 1 dan D = (-1)² - 4(1)(-2) = 9, sehingga L = 9 · 3 / 6 = 9/2. Hasilnya sama.

Soal 25. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva y = x² - 4x dan sumbu X pada selang 0 sampai 4.

Pembahasan. Hitung dulu integralnya: ∫[0, 4] (x² - 4x) dx = [x³/3 - 2x²] dari 0 sampai 4 = 64/3 - 32 = -32/3. Hasilnya negatif karena sepanjang selang itu kurva berada di bawah sumbu X. Luas tidak boleh negatif, jadi jawabannya 32/3 satuan luas. Inilah alasan langkah pertama pada soal luas selalu menggambar sketsa kasar atau minimal mengecek tanda fungsi, bukan langsung menghitung.

Contoh Soal Volume Benda Putar

Kalau luas memakai integral dari fungsi, volume benda putar memakai integral dari kuadrat fungsi dikali π. Bayangkan daerah diiris tipis tegak lurus sumbu putar; tiap irisan menjadi cakram dengan jari jari sepanjang nilai fungsi, dan luas cakram itu πr². Tabel berikut merangkum rumus luas dan volume yang dipakai pada soal SMA.

Soal 26. Daerah yang dibatasi kurva y = √x, sumbu X, dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X. Hitung volumenya.

Pembahasan. Kuadratkan fungsinya: [√x]² = x. Maka V = π ∫[0, 4] x dx = π[x²/2] dari 0 sampai 4 = π(16/2) = 8π satuan volume. Perhatikan bahwa akar lenyap begitu dikuadratkan, jadi soal volume dengan fungsi akar justru sering lebih ringan daripada soal luasnya.

Soal 27. Daerah yang dibatasi kurva y = x², sumbu X, dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X. Hitung volumenya.

Pembahasan. Kuadrat fungsinya x⁴. Maka V = π ∫[0, 2] x⁴ dx = π[x⁵/5] dari 0 sampai 2 = 32π/5 satuan volume. Kesalahan yang sering terjadi di sini adalah menulis x² sebagai integran karena lupa mengkuadratkan fungsinya lebih dulu.

Soal 28. Daerah yang dibatasi kurva y = x dan y = x² diputar mengelilingi sumbu X. Hitung volumenya.

Pembahasan. Titik potongnya x = x², yaitu x = 0 dan x = 1. Pada selang itu garis y = x berada di atas parabola, jadi garis menjadi kurva luar. Pakai metode cincin: V = π ∫[0, 1] (x² - x⁴) dx = π[x³/3 - x⁵/5] dari 0 sampai 1 = π(1/3 - 1/5) = 2π/15 satuan volume. Ingat, yang dikurangkan adalah kuadrat masing masing fungsi, bukan selisih fungsinya yang lalu dikuadratkan. Dua hal itu tidak sama.

Contoh Soal Integral Bergaya Penalaran Matematika UTBK

Di UTBK-SNBT, soal jarang muncul dalam bentuk perintah kering seperti tentukan integralnya. Yang lebih sering muncul adalah cerita berisi laju perubahan, lalu kamu diminta menghitung totalnya. Pola pikirnya satu: kalau yang diketahui adalah laju, maka totalnya diperoleh dengan mengintegralkan. Latihan bentuk cerita seperti ini bisa kamu perluas lewat kumpulan soal UTBK per subtes dan contoh soal TKA.

Soal 29. Kecepatan sebuah benda dinyatakan dengan v(t) = 6t + 4 dalam meter per detik, dengan t dalam detik. Hitung jarak yang ditempuh benda itu selama 5 detik pertama.

Pembahasan. Kecepatan adalah turunan dari jarak, jadi jarak adalah integral dari kecepatan. Jarak = ∫[0, 5] (6t + 4) dt = [3t² + 4t] dari 0 sampai 5 = (75 + 20) - 0 = 95 meter. Cek anti turunannya: turunan 3t² + 4t adalah 6t + 4, sesuai fungsi kecepatan.

Soal 30. Sebuah pameran mencatat laju kedatangan pengunjung r(t) = 30 - 2t orang per jam, dengan t jam sejak pintu dibuka. Berapa total pengunjung yang masuk selama 6 jam pertama?

Pembahasan. Yang diketahui laju, yang ditanya total, jadi integralkan. Total = ∫[0, 6] (30 - 2t) dt = [30t - t²] dari 0 sampai 6 = 180 - 36 = 144 orang. Jebakan di soal semacam ini adalah mengalikan laju awal dengan lama waktu, yaitu 30 dikali 6 = 180 orang. Angka itu keliru karena lajunya menurun sepanjang waktu.

Soal 31. Biaya marginal sebuah produksi dinyatakan dengan fungsi 3x² - 4x + 10 dalam ribu rupiah per unit, dengan x banyak unit. Hitung tambahan biaya untuk menaikkan produksi dari 2 unit menjadi 5 unit.

Pembahasan. Biaya marginal adalah turunan dari fungsi biaya total, jadi tambahan biaya adalah integral tentu dari 2 sampai 5. Tambahan biaya = ∫[2, 5] (3x² - 4x + 10) dx = [x³ - 2x² + 10x] dari 2 sampai 5 = (125 - 50 + 50) - (8 - 8 + 20) = 125 - 20 = 105 ribu rupiah. Cek anti turunannya: turunan x³ - 2x² + 10x adalah 3x² - 4x + 10, sesuai fungsi biaya marginal.

Kesalahan yang Sering Bikin Jawaban Integral Meleset dan Cara Melatihnya

Pola kesalahan pada soal integral sebenarnya sedikit dan berulang. Enam yang paling sering muncul: pertama, lupa menulis konstanta C pada integral tak tentu. Kedua, memakai aturan pangkat pada bentuk 1/x, padahal untuk pangkat -1 hasilnya ln|x|. Ketiga, lupa membagi dengan koefisien x saat integran berbentuk (ax + b)ⁿ atau sin(ax + b). Keempat, tidak mengubah batas saat memakai substitusi pada integral tentu. Kelima, langsung menghitung luas tanpa mengecek apakah daerahnya berada di bawah sumbu X sehingga jawabannya keluar negatif. Keenam, pada volume benda putar lupa mengkuadratkan fungsi lebih dulu, atau mengkuadratkan selisih fungsi padahal yang benar selisih dari kuadrat masing masing.

Semua kesalahan itu punya satu penawar yang sama, yaitu kebiasaan menurunkan kembali jawaban. Butuh sepuluh detik, tapi menutup kesalahan koefisien dan tanda yang jadi penyebab utama jawaban meleset. Untuk soal luas dan volume, tambahkan satu langkah lagi: sketsa kasar daerahnya sebelum menghitung, karena batas yang salah membuat semua hitungan setelahnya ikut salah meski aljabarnya rapi.

Rencana latihan yang masuk akal untuk tiga minggu: minggu pertama fokus di aturan dasar, bentuk akar, dan substitusi sampai kamu tidak lagi berpikir saat mengubah √x menjadi x^1/2. Minggu kedua masuk ke parsial, integral trigonometri, dan integral tentu. Minggu ketiga baru soal aplikasi, yaitu luas daerah, volume benda putar, dan soal cerita bertipe laju. Setelah ketiganya jalan, ukur hasilnya dengan simulasi berdurasi penuh, dan baca lagi cara memanfaatkan hasilnya di panduan try out UTBK supaya latihan tidak berhenti sebagai kumpulan angka skor.

Terakhir, satu hal yang sering diremehkan. Integral adalah materi yang jawabannya bisa diverifikasi sendiri, tidak seperti soal bacaan yang butuh kunci. Manfaatkan sifat itu. Kerjakan bank soal tanpa membuka pembahasan, lalu periksa dengan menurunkan jawabanmu. Kalau turunannya kembali ke soal, kamu sudah aman tanpa perlu menunggu siapa pun mengoreksi.