Contoh Soal Permutasi dan Pembahasannya: dari Faktorial sampai Permutasi Siklis

Contoh soal permutasi paling cepat dipahami kalau kamu memegang satu ide dasar: permutasi menghitung banyaknya susunan yang memperhatikan urutan. Begitu urutan dianggap penting, susunan ABC dan CAB dihitung sebagai dua hal berbeda, dan dari situlah semua rumus permutasi diturunkan. Artikel ini memuat 22 contoh soal permutasi beserta langkah hitung yang bisa kamu cek ulang satu per satu, mulai dari faktorial, permutasi r unsur dari n unsur, permutasi dengan unsur yang sama, sampai permutasi siklis.

Setiap angka pada pembahasan di bawah ditulis lengkap sampai hasil akhirnya, bukan langsung melompat ke jawaban. Kalau hasil hitunganmu berbeda, kamu bisa menelusuri di baris mana langkahnya menyimpang. Rumus dan istilah yang dipakai mengikuti modul resmi Kemendikdasmen untuk kaidah pencacahan kelas XII, jadi notasinya sama dengan yang kamu temui di buku sekolah.

Permutasi Adalah Susunan yang Memperhatikan Urutan

Modul resmi Kaidah Pencacahan kelas XII menuliskan definisinya dengan singkat: permutasi adalah susunan objek dengan memperhatikan urutan, sedangkan kombinasi adalah susunan objek tanpa memperhatikan urutan. Satu kalimat itu adalah pembeda yang paling menentukan saat kamu memilih rumus di ruang ujian.

Coba tiga huruf A, B, dan C. Kalau ketiganya dijajar dan urutan dianggap penting, kamu memperoleh ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA, jadi ada 6 susunan. Kalau yang ditanya hanya "pilih 3 huruf dari 3 huruf" tanpa peduli urutannya, jawabannya cuma 1. Angka 6 lawan 1 itu bukan soal rumus yang berbeda saja, melainkan pertanyaan yang memang berbeda.

Kaidah pencacahan sendiri, menurut modul yang sama, adalah aturan untuk menghitung banyaknya susunan objek tanpa harus merinci semua kemungkinannya satu per satu. Di dalamnya ada aturan penjumlahan, aturan perkalian, faktorial, permutasi, dan kombinasi. Permutasi adalah cabang yang kamu pakai ketika posisi, jabatan, ranking, nomor urut, atau letak duduk ikut menentukan hasil.

Cara paling cepat mengenali soal permutasi: cari apakah menukar posisi dua objek menghasilkan keadaan yang berbeda. Ketua dan sekretaris jelas berbeda kalau ditukar, jadi itu permutasi. Dua anggota tim yang sama-sama berstatus anggota tidak berubah apa pun kalau ditukar, jadi itu kombinasi.

Di Mana Materi Permutasi Muncul di UTBK dan TKA

Panitia SNPMB menuliskan materi UTBK-SNBT dalam dua kelompok besar. Tes Potensi Skolastik memuat Penalaran Umum, Pengetahuan dan Pemahaman Umum, Pemahaman Bacaan dan Menulis, serta Pengetahuan Kuantitatif. Tes Literasi memuat Literasi dalam Bahasa Indonesia, Literasi dalam Bahasa Inggris, dan Penalaran Matematika. Permutasi tidak berdiri sebagai subtes sendiri, tetapi hitungan pencacahan sering muncul terbungkus konteks di Pengetahuan Kuantitatif dan Penalaran Matematika.

Di Tes Kemampuan Akademik (TKA), kedudukannya lebih eksplisit. Kerangka Asesmen TKA Matematika jenjang SMA, MA, SMK, dan MAK yang diterbitkan Pusmendik mencantumkan elemen bilangan, aljabar, geometri dan pengukuran, data dan peluang, serta trigonometri. Salah satu kompetensi yang tertulis di sana berbunyi menyelesaikan permasalahan terkait aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi). TKA sendiri dipayungi regulasi resmi, di antaranya Permendikdasmen Nomor 9 Tahun 2025 tentang Tes Kemampuan Akademik dan Kepmendikdasmen Nomor 95 Tahun 2025 tentang Pedoman TKA, yang salinannya tersedia di halaman unduhan Pusmendik.

Karena itu latihan permutasi sebaiknya tidak berhenti di soal "hitung P(7, 3)". Bentuk yang benar-benar diuji biasanya berupa cerita: menyusun kode akses, mengatur jadwal tampil, menata tempat duduk, atau menghitung banyak bilangan yang bisa dibentuk. Kamu bisa membandingkan pola soalnya di kumpulan contoh soal TKA dan peta materi UTBK supaya tahu porsi wajar untuk topik ini.

Faktorial, Bahan Bakar Semua Rumus Permutasi

Semua rumus permutasi memakai faktorial, jadi bagian ini tidak boleh dilewati. Untuk n bilangan asli, n! (dibaca n faktorial) didefinisikan sebagai n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n - 1) x n. Modul resmi juga menegaskan dua kesepakatan penting: 0! = 1 dan 1! = 1. Sifat yang paling sering menyelamatkan waktumu adalah n! = n x (n - 1)!, karena dengan itu faktorial besar bisa dicoret tanpa dihitung penuh.

Soal 1. Hitung nilai 8! / (5! x 3!).

Pembahasan. Jangan hitung 8! penuh. Tulis 8! = 8 x 7 x 6 x 5!, lalu coret 5! di pembilang dan penyebut. Sisanya (8 x 7 x 6) / 3! = 336 / 6 = 56. Jadi hasilnya 56.

Soal 2. Untuk n = 6, hitung (n + 1)! / (n - 1)!.

Pembahasan. Bentuknya menjadi 7! / 5!. Uraikan 7! = 7 x 6 x 5!, lalu coret 5!, tersisa 7 x 6 = 42. Perhatikan polanya: (n + 1)! / (n - 1)! selalu sama dengan n x (n + 1), dan untuk n = 6 hasilnya 6 x 7 = 42.

Empat Bentuk Permutasi dan Rumusnya

Materi permutasi di kurikulum SMA terbagi menjadi empat bentuk. Kalau kamu hafal ciri soalnya, memilih rumus hanya butuh beberapa detik. Notasi P(n, r) di bawah sama artinya dengan nPr yang sering dipakai kalkulator.

Pada rumus unsur sama, m1 sampai mk adalah banyaknya objek yang identik untuk tiap jenis, dan jumlahnya harus sama dengan n. Rumus permutasi siklis berlaku untuk n lebih dari 1. Empat baris di tabel itu sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua soal permutasi tingkat SMA, termasuk yang dibungkus cerita panjang.

Contoh Soal Permutasi Semua Unsur Berbeda

Bentuk ini paling sering menjadi pembuka. Semua objek berbeda dan semuanya dipakai, jadi jawabannya cukup n!.

Soal 3. Delapan peserta lomba pidato akan tampil bergantian di satu panggung. Ada berapa banyak urutan tampil yang mungkin?

Pembahasan. Semua peserta berbeda dan semuanya tampil, jadi ini P(8, 8) = 8!. Hitung bertahap: 8 x 7 = 56, 56 x 6 = 336, 336 x 5 = 1.680, 1.680 x 4 = 6.720, 6.720 x 3 = 20.160, 20.160 x 2 = 40.320. Jadi ada 40.320 urutan tampil.

Soal 4. Lima siswa berfoto berjajar dalam satu baris. Berapa banyak susunan berjajar yang berbeda?

Pembahasan. P(5, 5) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 susunan. Perhatikan bahwa soal semacam ini tidak menyebut jabatan apa pun, tetapi posisi kiri dan kanan tetap membuat susunannya berbeda, jadi urutan tetap diperhitungkan.

Soal 5. Seorang kurir harus mengunjungi 6 titik pengantaran berbeda. Titik pertama sudah ditentukan kantor, sisanya bebas. Ada berapa banyak rute yang mungkin?

Pembahasan. Karena satu titik sudah terkunci, yang tersisa untuk disusun tinggal 5 titik. Banyak rute = P(5, 5) = 5! = 120 rute. Jebakan di soal seperti ini adalah tetap menghitung 6! padahal satu posisi sudah tidak bisa ditukar lagi.

Contoh Soal Permutasi r Unsur dari n Unsur

Bentuk kedua muncul ketika hanya sebagian objek yang dipakai, sementara posisinya punya peran berbeda. Rumusnya P(n, r) = n! / (n - r)!, dan cara tercepat menghitungnya adalah mengalikan r bilangan berurutan turun mulai dari n.

Soal 6. Dari 9 anggota OSIS akan dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Berapa banyak susunan pengurus yang mungkin?

Pembahasan. Tiga jabatan itu berbeda, jadi urutan pemilihan berpengaruh dan ini permutasi. P(9, 3) = 9! / (9 - 3)! = 9! / 6! = 9 x 8 x 7 = 504 susunan. Kalau ketiganya hanya disebut sebagai "tiga anggota tim" tanpa jabatan, soal itu berubah menjadi kombinasi dan hasilnya jauh lebih kecil.

Soal 7. Berapa banyak susunan 4 huruf berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata PLANET?

Pembahasan. Kata PLANET terdiri atas 6 huruf yang semuanya berbeda. Yang diminta adalah permutasi 4 huruf dari 6 huruf, yaitu P(6, 4) = 6! / (6 - 4)! = 6! / 2! = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 susunan.

Soal 8. Sebuah loker memakai sandi tiga angka yang seluruhnya berbeda, dipilih dari angka 0 sampai 9. Ada berapa banyak sandi yang mungkin?

Pembahasan. Tersedia 10 angka dan diambil 3 tanpa pengulangan, sedangkan posisi ratusan, puluhan, dan satuan jelas berbeda. P(10, 3) = 10 x 9 x 8 = 720 sandi. Kalau angka boleh berulang, soal itu bukan lagi permutasi murni melainkan aturan perkalian biasa, dan hasilnya 10 x 10 x 10 = 1.000.

Contoh Soal Permutasi dengan Pembatasan Posisi

Soal ujian jarang berhenti di rumus polos. Biasanya ditambahkan syarat: dua orang harus berdampingan, satu orang harus di ujung, atau dua kelompok tidak boleh berdekatan. Modul resmi menyebut kelompok ini permutasi dengan pembatasan, dan strateginya selalu sama, yaitu selesaikan dulu pembatasannya baru gunakan aturan perkalian.

Soal 9. Tujuh siswa duduk berjajar dalam satu baris. Berapa banyak susunan duduk jika dua siswa tertentu harus selalu berdampingan?

Pembahasan. Anggap dua siswa itu satu blok, sehingga yang disusun tinggal 6 unsur, yaitu 5 siswa lain ditambah 1 blok. Susunannya 6! = 720 cara. Di dalam blok, dua siswa itu masih bisa bertukar tempat dalam 2! = 2 cara. Dengan aturan perkalian, hasilnya 720 x 2 = 1.440 susunan.

Soal 10. Enam orang panitia berdiri berjajar untuk sesi foto. Ketua panitia harus berdiri di salah satu ujung barisan. Ada berapa susunan yang memenuhi syarat itu?

Pembahasan. Ketua punya 2 pilihan posisi, yaitu ujung kiri atau ujung kanan. Lima orang sisanya mengisi lima tempat yang tersisa dalam P(5, 5) = 5! = 120 cara. Total = 2 x 120 = 240 susunan.

Soal 11. Empat siswa putra dan tiga siswa putri duduk berjajar. Berapa banyak susunan duduk jika tidak boleh ada dua siswa putra yang berdekatan?

Pembahasan. Ada 7 kursi, sementara putranya 4 dan putrinya 3. Supaya tidak ada dua putra berdekatan, satu-satunya pola yang mungkin adalah berselang-seling dimulai dan diakhiri putra, yaitu putra, putri, putra, putri, putra, putri, putra. Keempat posisi putra dapat ditukar dalam 4! = 24 cara dan ketiga posisi putri dalam 3! = 6 cara. Total = 24 x 6 = 144 susunan. Kalau kamu mencoba pola lain, pasti ada dua putra yang bersebelahan, jadi tidak ada kemungkinan tambahan.

Contoh Soal Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama

Kalau ada objek identik, menghitung n! saja akan kelebihan hitung. Menukar dua huruf A yang sama persis tidak menghasilkan susunan baru, jadi hasilnya harus dibagi faktorial dari banyaknya objek identik tiap jenis.

Soal 12. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA?

Pembahasan. Kata MATEMATIKA memiliki 10 huruf dengan rincian M sebanyak 2, A sebanyak 3, T sebanyak 2, sedangkan E, I, dan K masing-masing 1. Banyak susunannya = 10! / (2! x 3! x 2!) = 3.628.800 / (2 x 6 x 2) = 3.628.800 / 24 = 151.200 susunan. Angka ini juga dipakai sebagai contoh baku di modul resmi kaidah pencacahan kelas XII, jadi kamu bisa memakainya untuk mengecek apakah pemahamanmu sudah benar.

Soal 13. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata STATISTIKA?

Pembahasan. Hitung dulu frekuensi tiap huruf: S sebanyak 2, T sebanyak 3, A sebanyak 2, I sebanyak 2, dan K sebanyak 1. Jumlahnya 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 10 huruf, cocok dengan panjang katanya. Banyak susunannya = 10! / (2! x 3! x 2! x 2!) = 3.628.800 / (2 x 6 x 2 x 2) = 3.628.800 / 48 = 75.600 susunan.

Soal 14. Delapan bendera akan dipasang berjajar pada delapan tiang. Tersedia 3 bendera merah, 2 bendera putih, dan 3 bendera hijau, dan bendera dengan warna sama tidak dapat dibedakan. Ada berapa formasi warna yang berbeda?

Pembahasan. Banyak formasi = 8! / (3! x 2! x 3!) = 40.320 / (6 x 2 x 6) = 40.320 / 72 = 560 formasi. Ciri soal jenis ini selalu ada kalimat seperti "warna sama tidak dapat dibedakan" atau "benda sejenis dianggap identik".

Contoh Soal Permutasi Siklis

Permutasi yang objeknya dijajar pada satu garis disebut permutasi linear. Kalau objeknya disusun melingkar dan arah lingkarannya diperhatikan, susunan itu disebut permutasi siklis. Modul resmi memberi ilustrasi sederhana: susunan ABC, BCA, dan CAB pada lingkaran sebenarnya sama saja karena tinggal diputar, sehingga tiga permutasi linear itu hanya menghasilkan satu permutasi siklis. Dari sinilah lahir rumus Ps(n) = (n - 1)! untuk n lebih dari 1.

Soal 15. Tujuh orang peserta rapat duduk mengelilingi satu meja bundar. Ada berapa susunan duduk yang berbeda?

Pembahasan. Ps(7) = (7 - 1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 susunan. Bandingkan dengan susunan berjajar yang hasilnya 7! = 5.040. Selisihnya tepat 7 kali, karena setiap susunan melingkar dapat diputar ke 7 posisi tanpa berubah.

Soal 16. Delapan orang duduk mengelilingi meja bundar. Dua orang di antaranya adalah pasangan suami istri yang harus duduk berdampingan. Ada berapa susunan duduk yang mungkin?

Pembahasan. Ikat pasangan itu menjadi satu blok sehingga yang disusun melingkar tinggal 7 unsur. Susunannya (7 - 1)! = 6! = 720 cara. Di dalam blok, keduanya dapat bertukar tempat dalam 2! = 2 cara. Total = 720 x 2 = 1.440 susunan.

Soal 17. Enam manik berbeda warna dirangkai menjadi sebuah kalung. Ada berapa rangkaian berbeda yang dapat dibuat?

Pembahasan. Kalau hanya diputar, jawabannya (6 - 1)! = 5! = 120. Namun kalung dapat dibalik, dan hasil balikannya adalah kalung yang sama secara fisik. Setiap rangkaian karena itu terhitung dua kali, sehingga hasilnya 120 / 2 = 60 rangkaian. Perhatikan baik-baik kata kuncinya: kursi mengelilingi meja tidak bisa dibalik, sedangkan kalung dan gelang bisa.

Contoh Soal Permutasi Bergaya Penalaran Matematika UTBK

Di UTBK dan TKA, soal pencacahan hampir selalu dibungkus cerita. Yang diuji bukan hafalan rumus, melainkan kemampuanmu menerjemahkan situasi menjadi model hitung yang benar. Lima soal berikut memakai pola yang sama dengan soal-soal berkonteks semacam itu.

Soal 18. Panitia bazar membuat kupon berkode lima karakter dengan format tiga huruf diikuti dua angka. Tidak ada huruf maupun angka yang boleh diulang. Berapa banyak kode berbeda yang dapat dibuat?

Pembahasan. Bagian huruf memakai 26 huruf alfabet tanpa pengulangan, yaitu P(26, 3) = 26 x 25 x 24 = 15.600. Bagian angka memakai 10 angka tanpa pengulangan, yaitu P(10, 2) = 10 x 9 = 90. Dengan aturan perkalian, total kode = 15.600 x 90 = 1.404.000 kode. Soal dengan konteks kupon bazar seperti ini muncul sebagai contoh soal resmi pada Kerangka Asesmen TKA Matematika jenjang SMA, dan kunci resminya juga 1.404.000.

Soal 19. Sebuah sistem meminta kata sandi lima karakter: dua huruf kapital berbeda diikuti tiga angka berbeda. Ada berapa kata sandi yang mungkin?

Pembahasan. Bagian huruf = P(26, 2) = 26 x 25 = 650. Bagian angka = P(10, 3) = 10 x 9 x 8 = 720. Total = 650 x 720 = 468.000 kata sandi.

Soal 20. Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan disusun bilangan empat angka berbeda yang bernilai ganjil. Ada berapa bilangan yang memenuhi?

Pembahasan. Mulai dari syarat yang paling mengikat, yaitu angka satuan harus ganjil. Angka ganjil yang tersedia adalah 1, 3, 5, dan 7, jadi ada 4 pilihan. Setelah satu angka terpakai, tersisa 6 angka untuk mengisi tiga posisi sisanya, yaitu P(6, 3) = 6 x 5 x 4 = 120. Total = 4 x 120 = 480 bilangan.

Soal 21. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dibentuk bilangan tiga angka berbeda. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk?

Pembahasan. Angka ratusan tidak boleh nol, jadi hanya ada 5 pilihan, yaitu 1 sampai 5. Setelah itu tersisa 5 angka (termasuk nol) untuk dua posisi berikutnya, yaitu P(5, 2) = 5 x 4 = 20. Total = 5 x 20 = 100 bilangan. Kalau kamu langsung memakai P(6, 3) = 120, hasilnya kelebihan 20 bilangan yang berawalan nol.

Soal 22. Ada 12 kelompok yang mendaftar presentasi. Panitia akan memilih 3 kelompok untuk tampil di sesi pertama sebagai penampil kesatu, kedua, dan ketiga. Berapa banyak susunan penampil sesi pertama?

Pembahasan. Nomor tampil membuat urutan berpengaruh, jadi ini P(12, 3) = 12 x 11 x 10 = 1.320 susunan.

Permutasi, Kombinasi, dan Peluang: Kapan Memakai yang Mana

Tiga hal ini sering tertukar karena muncul di bab yang sama. Padahal pertanyaan yang dijawab masing-masing berbeda. Permutasi dan kombinasi menghitung banyak susunan, sedangkan peluang membandingkan banyak kejadian yang diharapkan terhadap seluruh kemungkinan.

Baris terakhir tabel itu layak kamu hafal. Untuk 9 objek yang diambil 3, permutasinya 504 dan kombinasinya 504 / 3! = 504 / 6 = 84. Jadi kalau kamu lupa rumus kombinasi, hitung saja permutasinya lalu bagi dengan r!. Untuk melihat bagaimana hasil pencacahan itu dipakai menjadi nilai peluang, lanjutkan ke pembahasan contoh soal peluang yang membahas kejadian tunggal sampai peluang bersyarat.

Kesalahan yang Sering Bikin Soal Permutasi Meleset

Dari pola pengerjaan siswa, kesalahan pada soal permutasi jarang berupa salah hitung faktorial. Yang lebih sering terjadi adalah salah membaca situasi. Tabel berikut memetakan kata kunci di soal dengan alat hitung yang tepat, sekaligus kesalahan yang paling sering menyertainya.

Urutan latihan yang paling efisien: kuasai dulu faktorial dan P(n, r) sampai otomatis, baru masuk ke unsur sama dan siklis, lalu tutup dengan soal cerita panjang. Kerjakan sepuluh soal sejenis berturut-turut sebelum pindah bentuk, karena pola pikirnya baru menempel setelah beberapa kali pengulangan. Setelah itu, uji dalam kondisi berwaktu memakai kumpulan soal UTBK dan sesi try out UTBK supaya kamu terbiasa membaca soal berkonteks dengan tekanan waktu.

Terakhir, biasakan menulis satu baris alasan sebelum menghitung, misalnya "urutan penting karena jabatannya berbeda". Kebiasaan kecil itu memangkas kesalahan pemilihan rumus jauh lebih banyak daripada menghafal tambahan rumus baru. Kalau kamu ingin melatih lintas topik sekaligus, kumpulan contoh soal untuk berbagai jenis ujian bisa kamu pakai sebagai bahan latihan harian, dan Bank Soal Target Lulus menyediakan paket latihan pencacahan yang pembahasannya ditulis bertahap seperti di artikel ini.